НОФ 2019, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Капка и мехурче

• а) $[\eta] = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}} = \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}$
• б) $v = \frac{2}{9}\frac{\rho_0 g r^2}{\eta}$
• в) $v_1 = \frac{2}{9}\frac{(\rho - \rho_0) g r^2}{\eta}$
• г) $\rho_0 = \frac{\rho}{1 + \frac{v_1}{v}} \approx 0{,}92\ \mathrm{g/cm^3}$
• д) $\eta = \frac{2}{9}\frac{\rho_0 g r^2}{v} \approx 0{,}069\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}$
• е) $v_2 = \frac{v}{4} = \frac{29}{4}\ \mathrm{mm/s} \approx 7{,}3\ \mathrm{mm/s}$

а) От дадената формула за силата следва, че $= \frac{F}{6\pi r v}$, следователно мерната единица на вискозитета е $[\eta] = \frac{[F]}{[r][v]} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}\cdot\mathrm{m}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}$. [1 т.] (всъщност вместо единицата $\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}$ се използва еквивалентната на нея Pa$\cdot$s)

б) Когато мехурчето изплава с постоянна скорост, действащата му Архимедова сила се уравновесява със силата на съпротивление (силата на тежестта му се пренебрегва поради много малката плътност на въздуха) $F_{\text{Арх}} = F_{\text{съп}}$, [0,5 т.] $\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g = 6\pi\eta r v$, откъдето $v = \frac{2}{9}\frac{\rho_0 g r^2}{\eta}$. [1,5 т.]

в) Когато капката вода потъва в олиото с постоянна скорост, действащата ѝ сила на тежестта се уравновесява от сумата на Архимедовата сила и силата на съпротивление $G = F_{\text{Арх}} + F_{\text{съп}}$, [0,5 т.] $\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g = \rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g + 6\pi\eta r v_1$, откъдето $v_1 = \frac{2}{9}\frac{(\rho - \rho_0) g r^2}{\eta}$. [1,5 т.]

г) Когато мехурчето въздух и водната капка имат равни радиуси, отношението на скоростите на движението им в олиото е $\frac{v_1}{v} = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0} = \frac{\rho}{\rho_0} - 1$, откъдето $\rho_0 = \frac{\rho}{1 + \frac{v_1}{v}}$. [1 т.] След заместване, $\rho_0 = \frac{1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}}{1 + \frac{2{,}5\ \mathrm{mm/s}}{29\ \mathrm{mm/s}}} \approx 0{,}92\ \mathrm{g/cm^3}$. [1 т.]

д) Вискозитетът $\eta$ на олиото може да се пресметне от формулата за скоростта на мехурчето, $\eta = \frac{2}{9}\frac{\rho_0 g r^2}{v}$ [0,5 т.] $= \frac{2}{9}\frac{0{,}92\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\cdot 9{,}8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\cdot(1\ \mathrm{mm})^2}{29\ \mathrm{mm/s}} \approx 0{,}069\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}$ (Pa$\cdot$s). [1,5 т.]

е) Тъй като скоростта на изплаване зависи от квадрата на радиуса на мехурчето, за мехурче с два пъти по-малък радиус скоростта ще е 4 пъти по-малка, т.е. $v_2 = v/4$ [0,5 т.] $= 29/4$ mm/s $\approx 7{,}3$ mm/s. [0,5 т.]