Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за X клас (четвърта състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Големината на общия заряд на две малки метални топчета е $6\ \mu\mathrm{C}$ . Когато топчетата се намират на разстояние $3\ \mathrm{m}$ едно от друго, те си взаимодействат с електрична сила $8\ \mathrm{mN}$ . Какви са възможните стойности на зарядите $q_1$ и $q_2$ , ако те са:

Приемете, че по големина зарядът 1 има по-голяма стойност от заряда 2.

Константата в закона на Кулон е $k = 9.10^{9}\ \dfrac{\mathrm{N.m}^{2}}{\mathrm{C}^{2}}$ .

а) едноименни [6 т.]

б) разноименни [4 т.]

Отговори

Решение

а) Да озаначим с $\left|q_1\right|$ и $\left|q_2\right|$ големините на двата заряда. Условието

\left|q_1+q_2\right| = q > 0 \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

при едноименни заряди е еквивалентно на равенството

\left|q_1\right|+\left|q_2\right| = q, \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

от което следва $\left|q_2\right| = q - \left|q_1\right|$ . Като заместим този израз в израза за електричната сила на взаимодействие между зарядите имаме

F = k\frac{\left|q_1\right|\left|q_2\right|}{r^{2}} = k\frac{\left|q_1\right|\left(q-\left|q_1\right|\right)}{r^{2}}, \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

което може да се запише във вид на квадратно уравнение

\left|q_1\right|^{2} - q\left|q_1\right| + \frac{Fr^{2}}{k} = 0. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

Неговите решения са

\left(\left|q_1\right|\right)_{1,2} = \frac{1}{2}\left[q \pm \sqrt{q^{2} - \frac{Fr^{2}}{k}}\right] = \begin{cases} 4\ \mu\mathrm{C} \\ 2\ \mu\mathrm{C} \end{cases} \qquad [1\ \textbf{т.}]

от което следва

\left(\left|q_2\right|\right)_{1,2} = \begin{cases} 2\ \mu\mathrm{C} \\ 4\ \mu\mathrm{C} \end{cases}, \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

т. е. ако въведем изискването, че $\left|q_1\right| > \left|q_2\right|$ [0,5 т.], имаме $\left|q_1\right| = 4\ \mu\mathrm{C}$ , $\left|q_2\right| = 2\ \mu\mathrm{C}$ [0,5 т.].

Тогава при положителни заряди

q_1 = +4\ \mu\mathrm{C}, \quad q_2 = +2\ \mu\mathrm{C}, \qquad [0{,}75\ \textbf{т.}]

а при отрицателни заряди

q_1 = -4\ \mu\mathrm{C}, \quad q_2 = -2\ \mu\mathrm{C}. \qquad [0{,}75\ \textbf{т.}]

б) При разноименни заряди, когато $\left|q_1\right| > \left|q_2\right|$ [0,5 т.], имаме

\left|q_1\right| - \left|q_2\right| = q. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

Тогава от уравнението

\left|q_1\right|^{2} - q\left|q_1\right| - \frac{Fr^{2}}{k} = 0 \qquad [1\ \textbf{т.}]

намираме $\left|q_1\right| = 7{,}12\ \mu\mathrm{C}$ , $\left|q_2\right| = 1{,}12\ \mu\mathrm{C}$ [0,5 т.]. Ето защо са възможни следните два случая:

q_1 = +7{,}12\ \mu\mathrm{C}, \quad q_2 = -1{,}12\ \mu\mathrm{C}, \qquad [0{,}75\ \textbf{т.}]

q_1 = -7{,}12\ \mu\mathrm{C}, \quad q_2 = +1{,}12\ \mu\mathrm{C}. \qquad [0{,}75\ \textbf{т.}]

Забележка. Когато с $q_1$ и $q_2$ са означени големините на зарядите, се изисква допълнителното конкретизиране „положителен“ или „отрицателен“.

Оригинал в Архива: NOF2_2020_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_10solutions.pdf