Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 10. клас — Задача 2. Плаване на телата

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за X клас (четвърта състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Съд с дълбочина $H$ е запълнен с течност, чиято плътност се изменя линейно от $\rho_0$ на повърхността до $\rho$ на дъното на съда. В течността се потопяват две малки топчета с еднакъв обем $V$ , които са свързани с тънка неразтеглива нишка с дължина $l$ и пренебрежима маса. Плътността на едното топче е $\rho_1$ , а плътността на другото е $\rho_2$ . След известно време при опъната нишка топчетата заемат положенията, показани на фиг. 1.

Правоъгълен съд с течност; в него две топчета, означени с ρ1 (по-горе) и ρ2 (по-долу), свързани с вертикална нишка. Отляво е означена дълбочината H; плътността е ρ0 на повърхността и ρ на дъното. — Фиг. 1, а. Съд с дълбочина $H$ , запълнен с течност с линейно нарастваща плътност; двете топчета с плътности $\rho_1$ и $\rho_2$ са свързани с опъната нишка.

Графика: по вертикалната ос плътност, по хоризонталната дълбочина. Права линия започва от ρ0 при дълбочина 0 и достига ρ при дълбочина H; при дълбочина x стойността е ρx. — Фиг. 1, б. Графика на плътността на течността в зависимост от дълбочината — линейно нарастване от $\rho_0$ при повърхността до $\rho$ при дълбочина $H$ .

а) Като използвате графиката от фиг. 1, б, изразете плътността на течността $\rho_x$ на дълбочина $x$ от повърхността на течността чрез указаните величини. [1,5 т.]

б) Начертайте всички сили, които действат на всяко едно топче, и запишете условията за равновесието им. [5 т.]

в) Намерете силите $T_1$ и $T_2$ , с които нишката действа на топче 1 и топче 2. [2,5 т.]

г) При каква разлика между плътностите $\rho_1$ и $\rho_2$ нишката действа на топчетата? [1 т.]

Отговори

Решение

а) От подобието на двата правоъгълни триъгълника с катети $x, \rho_x - \rho_0$ и $H, \rho - \rho_0$ имаме

\frac{\rho_x - \rho_0}{\rho - \rho_0} = \frac{x}{H}, \qquad [1\ \textbf{т.}]

откъдето намираме

\rho_x = \rho_0 + \frac{x}{H}\left(\rho - \rho_0\right). \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

б) Вж. фиг. 1, където $G_1$ и $G_2$ са силите на тежестта, $T_1$ и $T_2$ са силите, с които нишката дърпа топчетата, $F_{1\mathrm{A}}$ и $F_{2\mathrm{A}}$ са Архимедовите сили [1 т.].

Две вертикални схеми на сили. За топче 1: нагоре стрелка F1, надолу стрелки T1 и G1. За топче 2: нагоре стрелки T2 и F2A, надолу G2. — фиг. 1. Силите, действащи на двете топчета: тегла $G_1$ и $G_2$ , сили на нишката $T_1$ и $T_2$ и Архимедовите сили (за топче 2 означена $F_{2\mathrm{A}}$ , за топче 1 на фигурата е изписано $F_1$ ).

На първото топче действат надолу силата на тежестта $G_1 = \rho_1 Vg$ [0,5 т.] и силата $T_1$ , с която нишката го дърпа, а нагоре – изтласкващата сила $F_{1\mathrm{A}} = \rho_{x_1}Vg$ [0,5 т.], като

\rho_1 Vg + T_1 = \rho_{x_1}Vg. \qquad [1\ \textbf{т.}]

На второто топче надолу действа силата на тежестта $G_2 = \rho_2 Vg$ [0,5 т.], а нагоре силата $T_2$ , с която нишката го дърпа, и изтласкващата сила $F_{2\mathrm{A}} = \rho_{x_2}Vg$ [0,5 т.], като

\rho_2 Vg = T_2 + \rho_{x_2}Vg. \qquad [1\ \textbf{т.}]

в) Тъй като топчетата дърпат нишката съответно със сили $T_1$ и $T_2$ (трети принцип на механиката), а тя е с пренебрежима маса и неподвижна, следва $T_1 = T_2 = T$ [0,5 т.]. От почленното изваждане на двете равенства намираме

T = \frac{1}{2}\left[\rho_{x_1} - \rho_{x_2} + \rho_2 - \rho_1\right]Vg. \qquad [1\ \textbf{т.}]

Като отчетем, че

\rho_{x_1} - \rho_{x_2} = \frac{l}{H}\left(\rho_0 - \rho\right), \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

имаме

T = \frac{1}{2}\left[\rho_2 - \rho_1 \; - \frac{l}{H}\left(\rho - \rho_0\right)\right]Vg. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

г) Тъй като $T > 0$ [0,5 т.], намираме $\rho_2 - \rho_1 > l(\rho - \rho_0)/H$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2020_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_10solutions.pdf