Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 10. клас — Задача 3. Електрическа верига

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за X клас (четвърта състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Електрическата схема на фиг. 2 включва три еднакви източника с ЕДН $\mathcal{E}$ и вътрешно съпротивление $r$ . Полупроводниковият диод се разглежда като идеален, т. е. неговото съпротивление при ток в права посока е равно на нула, а в обратна посока – безкрайно голямо. Във веригата е свързан резистор със съпротивление $R$ , като в зависимост от стойността му могат да се реализират и двата режима на работа на диода.

Електрическа схема: резистор R в горния клон; под него два успоредни клона — горният с източник ЕДН и диод, долният с два източника ЕДН последователно. — Фиг. 2. Веригата: резистор $R$ и два успоредни клона — единият с един източник ( $\mathcal{E}, r$ ) и идеален диод, другият с два последователно свързани източника ( $\mathcal{E}, r$ ).

а) Начертайте схемата на електрическата верига и намерете напрежението $U$ между краищата на резистора със съпротивление $R$ , когато диодът е в режим с безкрайно голямо съпротивление. [1,5 т.]

б) Начертайте схемата на електрическата верига и определете напрежението $U$ между краищата на резистора със съпротивление $R$ , когато диодът е в режим със съпротивление равно на нула. [4 т.]

в) Какви условия трябва да удовлетворява съпротивлението $R$ , за да се реализират двата режима на работа на идеалния диод? [1,5 т.]

г) Начертайте графиката на напрежението $U$ в зависимост от съпротивлението $R$ на резистора, като изберете подходящи променливи. [3 т.]

Отговори

Решение

а) От схемата на фиг. 2, а [0,5 т.] намираме тока през резистора

Проста верига: резистор R в горния клон, в долния клон източник 2ε и резистор 2r. — Фиг. 2, а. Еквивалентната схема при запушен диод: резистор $R$ , последователно свързан с източник $2\mathcal{E}$ и вътрешно съпротивление $2r$ .

I = \frac{2\mathcal{E}}{R + 2r}, \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

като за напрежението между краищата на резистора получаваме

U(R) = \frac{2\mathcal{E}R}{R + 2r}. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

б) Нека означим токовете през източниците в схемата на фиг. 2, б [0,5 т.] съответно с $I_1$ и $I_2$ , а тока през резистора с $I$ . Тогава от запазването на електричния заряд следва равенството

Верига с резистор R (ток I) и два успоредни клона: горният с източник ε и резистор r (ток I1), долният с източник 2ε и резистор 2r (ток I2). — Фиг. 2, б. Еквивалентната схема при провеждащ диод: два успоредни клона ( $\mathcal{E}, r$ ) и ( $2\mathcal{E}, 2r$ ) с токове $I_1$ и $I_2$ , захранващи резистора $R$ с ток $I$ .

(1) \qquad I_1 + I_2 = I. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

Напрежението между краищата на резистора се дава с изразите

IR = \mathcal{E} - I_1 r = 2\mathcal{E} - I_2(2r), \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

които можем да препишем във вида

(2) \qquad 2I_2 - I_1 = \frac{\mathcal{E}}{r}, \quad \mathcal{E} - I_1 r = IR. \qquad [1\ \textbf{т.}]

Тогава от (1) и (2) намираме

I_1 = \frac{2}{3}I - \frac{\mathcal{E}}{3r}, \quad I = \frac{4\mathcal{E}}{3R + 2r}, \qquad [1\ \textbf{т.}]

при което за напрежението между краищата на резистора имаме

U(R) = \frac{4\mathcal{E}R}{3R + 2r}. \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

в) Диодът е с нулево съпротивление, когато $I_1 > 0$ [0,5 т.]. Тогава имаме $R < 2r$ [0,5 т.]. При $I_1 = 0$ диодът е „запушен“, т. е. $R = 2r$ , и остава такъв при $R > 2r$ [0,5 т.]

г) При избор на променливите $y = U/\mathcal{E}$ [0,5 т.] и $x = R/2r$ [0,5 т.] зависимостта на напрежението има универсален вид

y = \begin{cases} 4x/(3x+1), & x < 1 \\ 1, & x = 1 \\ 2x/(x+1), & x > 1 \end{cases} \qquad [0{,}5\ \textbf{т.}]

В таблицата са показани няколко стойности на $x$ и $y$ .

$x$	0,3	0,6	0,9	1,0	1,1	1,5	2,0	4,0	7,0
$y$	0,63	0,86	0,97	1,0	1,05	1,2	1,3	1,6	1,75

Следва да се отбележат две особености:

Тъй като $\dfrac{2x}{x+1} < \dfrac{2x}{x} = 2$ , напрежението $U < 2\mathcal{E}$ и с увеличаването на $R$ се приближава към $2\mathcal{E}$ . [0,5 т.]
При $x = 1$ графиката има чупка, която се установява при разглеждане на близки точки върху графиката, симетрични по $x$ (вж. таблицата). [0,5 т.]

Графика на y спрямо x: кривата тръгва от нулата, минава през точката (1; 1,0), където има чупка, и се приближава асимптотично към пунктираната линия y = 2,0. — Фиг. 2, в. Графиката на $y = U/\mathcal{E}$ в зависимост от $x = R/2r$ — нарастваща крива с чупка при $x = 1$ и асимптота $y = 2$ .

На фиг. 2, в е показана търсената графика. [0,5 т.].

Оригинал в Архива: NOF2_2020_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_10solutions.pdf