НОФ 2020, II кръг (областен), 7. клас — Задача 2. Спътници

• а) Спътникът ще изглежда неподвижен за наблюдателя (стационарна, съответно геостационарна орбита).
• б) $r_1 = \frac{v_1T_1}{2\pi} = 43\ 200\ \mathrm{km}$
• в) $r_2 = r_1\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = 10\ 800\ \mathrm{km}$
• г) $h = r_2 - R = 4400\ \mathrm{km}$
• д) $T_2 = \frac{2\pi r_2}{v_2} = 10\ 800\ \mathrm{s} = 3\ \text{часа}$
• е) $T_3 = \frac{T_1}{7} = \frac{24}{7}\ \text{часа} = 3\tfrac{3}{7}\ \text{часа} \approx 3\mathrm{h}\ 26\ \mathrm{min}$ ≈ $3.4286$ h

а) Спътникът ще изглежда неподвижен за наблюдателя. [1 т.] (Такава орбита са нарича стационарна, в случая на Земята – геостационарна).

б) Обиколката на окръжността, по която обикаля спътника, е $2\pi r_1 = v_1 T_1$ , откъдето $r_1 = \dfrac{v_1 T_1}{2\pi}$ [1 т.] $= \dfrac{3{,}14\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\cdot 24\cdot 3600\,s}{2\cdot 3{,}14} = 43\ 200\ \mathrm{km}$. [1 т.]

в) Тъй като $v_1{}^2 r_1 = v_2{}^2 r_2$, то $r_2 = r_1\dfrac{v_1{}^2}{v_2{}^2} = r_1\left(\dfrac{v_1}{v_2}\right)^2$ [1 т.] $= 43200\,km\cdot\left(\dfrac{3{,}14\mathrm{km/s}}{6{,}28\mathrm{km/s}}\right)^2 = \dfrac{43200\,km}{4} = 10\ 800$ км. [1 т.]

г) Вторият спътник лети на височина $h$ над повърхността на планетата, равна на $h = r_2 - R = 10800\ \mathrm{km} - 6400\ \mathrm{km} = 4400\ \mathrm{km}$. [1 т.]

д) Вторият спътник ще направи една обиколка около планетата за време $T_2 = \dfrac{2\pi r_2}{v_2}$ [1 т.] $= \dfrac{2\cdot 3{,}14\cdot 10800\ km}{6{,}28\ km/s} = 10\ 800\ \mathrm{s} = 3$ часа. [1 т.]

е) Забелязваме, че периодът $T_2 = T_1/8$, т.е. за времето за едно завъртане на планетата, спътникът ще направи 8 обиколки. Следователно за 24 часа той ще премине 7 пъти през зенита на наблюдателя. В такъв случай, периодът $T_3 = \dfrac{T_1}{7} = \dfrac{24}{7}$ часа $= 3\frac{3}{7}$ часа [2 т.] $\approx$ 3h 26 min.