Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Макара с две тела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за VIII клас (втора състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Тънка неразтеглива нишка е прекарана през неподвижна макара, монтирана над хоризонтална маса. Макарата може да се върти свободно около хоризонтална ос, а масата ѝ е пренебрежимо малка. На единия край на нишката е окачено тяло (1) с маса $m_1 = 1.5$ kg, а на другия – тяло (2) с маса $m_2 = 2.5$ kg. В началния момент тяло (1) е захванато неподвижно за масата, а тяло (2) виси на височина $h = 1$ m над масата. Когато (1) се освободи, двете тела започват да се движат. Приемете, че нишката не се хлъзга спрямо макарата и че земното ускорение е $g = 10$ m/s $^2$ .

1.1. Намерете ускоренията $a_1$ и $a_2$ на телата. [3,5 т.]

1.2. Намерете силите $T_1$ и $T_2$ , с които нишката действа на всяко от телата. [1 т.]

1.3. В кой момент от време $t_{\mathrm{ср}}$ телата се намират на една и съща височина? [1,5 т.]

1.4. Намерете максималната височина $h_{\max}$ , на която се издига тяло (1), като приемете, че макарата е достатъчно високо и тялото не се удря в нея. [4 т.]

Отговори

Решение

Решение: 1.1. Силата $T$ , с която нишката действа на всяко от телата, е една и съща $(T = T_1 = T_2)$ , тъй като масите на нишката и на макарата са пренебрежимо малки. (0.25 т.) Ускорението $a$ на двете тела също е еднакво $(a = a_1 = a_2)$ , защото нишката е неразтеглива. (0.25 т.) Като запишем втория принцип на Нютон за всяко от телата, получаваме:

T - m_1g = m_1a \text{ за тяло (1)} \quad \text{и} \quad m_2g - T = m_2a \text{ за тяло (2)}

Схема: макара, тяло $m_1$ с изтеглена нагоре сила $\vec{T}$ и тегло $m_1\vec{g}$, тяло $m_2$ над масата със сила $\vec{T}$ нагоре и тегло $m_2\vec{g}$ надолу. — Силите, действащи на телата (1) и (2), окачени на нишката през макарата.

(2 т.)

От тук може да изразим ускорението $a = \dfrac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}g = 2.5$ m/s $^2$ . (1 т.)

Решение: 1.2. След като определим ускорението $a$ , лесно може да изразим силата $T = m_1(a + g) = 18.75$ N. (1 т.)

Решение: 1.3. Двете тела се движат равноускорително с ускорение $a$ (без начална скорост), така че за време $t$ всяко изминава път $s = at^2/2$ . Да разгледаме височината (спрямо масата), на която се намират двете тела в търсения момент от време – $t_{\mathrm{ср}}$ . За първото тяло това ще е $at_{\mathrm{ср}}^2/2$ , за (2) ще е $h - at_{\mathrm{ср}}^2/2$ . (0.5 т.) Приравняваме двете разстояния и получаваме времето $t_{\mathrm{ср}} = \sqrt{h/a} = \sqrt{10}/5$ s $\approx 0.63$ s. (1 т.)

Решение: 1.4. Тяло (1) се движи равноускорително нагоре под действие на сила $F = m_1a$ , до момента в който тяло (2) падне на масата. След това нишката вече не действа на тялото и то се движи равнозакъснително с ускорение $g$ . Височината която ще измине е $h' = v^2/(2g)$ , (0.5 т.) където $v$ крайната скорост на равноускорителното движение или $v^2 = 2ah$ . (0.5 т.) Така за максималната височина получаваме $h_{\max} = h + h' = h + ah/g = (a/g + 1)h = 1.25$ m. (3 т.)

Оригинал в Архива: NOF2_2020_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_8solutions.pdf