НОФ 2020, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Графика скорост–време

• 3.1. $v_0 = v(0) = 2\ \mathrm{m/s}$

• 3.2. $s = S_1 + S_2 + S_3 = (14 + 36 + 20)\ \mathrm{m} = 70\ \mathrm{m}$

• 3.3. $\bar{v}_5 = \frac{26}{5}\ \mathrm{m/s} = 5.2\ \mathrm{m/s},\quad \bar{v}_{10} = \frac{70}{10}\ \mathrm{m/s} = 7\ \mathrm{m/s}$

  Стойността във value е $\bar{v}_5$; средната скорост за цялото движение е $\bar{v}_{10} = 7$ m/s.

• 3.4. Стъпаловидна графика: $a = 2$ m/s$^2$ за $t \in [0,2)$ s, $a = 0$ за $t \in [2,5)$ s, $a = 4/3$ m/s$^2$ за $t \in [5,8)$ s и $a = 0$ за $t \in [8,10]$ s.

Решение: 3.1. От графиката се вижда, че в момента $t = 0$ s, скоростта е $v(0) = v_0 = 2$ m/s. (1 т.)

Решение: 3.2. Тялото се движи равноускорително или равномерно, така че преместването и изминатият път ще съвпадат и ще са равни на площта на фигурата между графиката и абсцисата, която не е показана на чертежа в условието. Може да разделим фигурата на два трапеца с площи $S_1 = [(5 + 2)\cdot 4/2]$ m = 14 m и $S_2 = [(10 + 8)\cdot 4/2]$ m = 36 m. (1.5 т.) Тъй като графиката почва от $v(0) = 2$ m/s, трябва да добавим и още един правоъгълник с площ $S_3 = (10\cdot 2)$ m = 20 m (0.5 т.) и така общият изминат път става $s = (14 + 36 + 20)$ m = 70 m. (1 т.) На фигурата долу вдясно са показани конкретните $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Възможни са и много други конфигурации.

Алтернативно решение: разглеждаме четирите участъка от графиката:

• $t \in [0, 2)$ s – движението е равноускорително с ускорение $a = 2$ m/s$^2$ и начална скорост $v_0 = 2$ m/s. Изминатият път е $s_1 = v_0\Delta t + a\Delta t^2/2 = (2\cdot 2 + 2\cdot 2^2/2)$ m = 8 m. (0.5 т.)
• $t \in [2, 5)$ s – движението е равномерно с постоянна скорост $v = 6$ m/s. Изминатият път е $s_2 = v\Delta t = (6\cdot 3)$ m = 18 m. (0.5 т.)
• $t \in [5, 8)$ s – движението е равноускорително с ускорение $a = 4/3$ m/s$^2$ и начална скорост $v_0 = 6$ m/s. Изминатият път е $s_3 = v_0\Delta t + a\Delta t^2/2 = [6\cdot 3 + (4/3)\cdot 3^2/2]$ m = 24 m. (0.5 т.)
• $t \in [8, 10]$ s – движението е равномерно с постоянна скорост $v = 10$ m/s. Изминатият път е $s_4 = v\Delta t = (10\cdot 2)$ m = 20 m. (0.5 т.)

Общият изминат път става $s = (8 + 18 + 24 + 20)$ m = 70 m. (1 т.)

Решение: 3.3. За да пресметнем средната скорост, отново пресмятаме изминатия път (както в 3.2.), който за първите пет секунди е $s = [5\cdot 2 + (5 + 3)\cdot 4/2]$ m = 26 m (този път може да се сметне и като използваме формулите за равноускорително движение през първите две секунди и равномерно движение през оставащите три секунди, виж алтернативното решение на 3.2., тогава $s = (8 + 6\cdot 3)$ m = 26 m), така за скоростта получаваме $\bar{v}_5 = (26/5)$ m/s = 5.2 m/s. (1 т.) Средната скорост за цялото време на движение е $\bar{v}_{10} = (70/10)$ m/s = 7 m/s. (1 т.)

Решение: 3.4. (виж графиката $a(t)$ по-долу вляво)

• правилно означени оси – величина (2×0.5 т.) и размерност (2×0.5 т.);
• правилно нанесени точки; (2 т.)

(Фигурата вдясно е към решението на задача 3.2.)