НОФ 2020, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Макари и трупчета

а) На лявото трупче действа силата на тежестта $G = mg$ надолу [0,3 т.] и силата на опън на нишката $T$ нагоре [0,2 т.]. На дясното трупче действа същата сила на тежестта $G = mg$ [0,3 т.], но силата на опън от страна на дясната макара е $2T$ [0,5 т.] (следствие от безмасовостта на макарата), както може да се види на чертежа вляво. Ако ускорението на лявото трупче е $a$, то дясното трупче ще се движи нагоре с ускорение $a/2$, тъй като дясното трупче изминава двойно по-малък път от лявото, а пътят е пропорционален на ускорението при движение без начална скорост. [0,7 т.] Като приложим II принцип на Нютон за двете трупчета, ще получим: $mg - T = ma$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $2T - mg = ma/2$ [0,5 т.] (за дясното трупче). От тези две уравнения получаваме ускорението $a = \frac{2g}{5} = 4\ \mathrm{m/s^2}$ [1,5 т.] и силата на опън $T = \frac{3mg}{5} = 1{,}2\ \mathrm{N}$ [1 т.].

б) Ще означим пътя, изминат от лявото трупче, с $s = at^2/2$. [0,5 т.] За същото време дясното трупче изминава път $s/2$ нагоре. [0,5 т.] Разликата между височините, на които се намират трупчетата, ще бъде $\frac{3s}{2} = \frac{3at^2}{4} = h$ [0,5 т.], откъдето $t = \sqrt{\frac{4h}{3a}} = \sqrt{\frac{10h}{3g}} = 0{,}2\ \mathrm{s}$ [1 т.].

в) Кинетичната енергия на лявото трупче ще бъде $E_{\mathrm{к,л}} = \frac{ma^2t^2}{2}$. [0,5 т.] Като заместим резултатите от предните подусловия, получаваме $E_{\mathrm{к,л}} = \frac{4mgh}{15} = 64\ \mathrm{mJ}$. [0,5 т.] В този момент кинетичната енергия на дясното трупче ще бъде $E_{\mathrm{к,д}} = \frac{ma^2t^2}{8}$, т.е. $E_{\mathrm{к,д}} = \frac{mgh}{15} = 16\ \mathrm{mJ}$. [1 т.]