Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Плаващ куб

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за IX клас (трета състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Еднороден куб със страна $a = 20\ \mathrm{cm}$ се намира в равновесие, като е наполовина потопен в съд с вода. Между долната част на куба и дъното на съда е опъната безмасова неразтеглива нишка, както е показано на фигурата вляво. Първоначално силата на опън на нишката е $T = 24\ \mathrm{N}$ . Плътността на водата е $\rho_{\mathrm{в}} = 1\ \mathrm{g/cm^3}$ . Използвайте, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Определете големината на Архимедовата сила, която действа на куба. [1,5 т.]

б) На колко е равна плътността $\rho_{\mathrm{к}}$ на куба? [3 т.]

в) Бавно наливаме олио с плътност $\rho_{\mathrm{о}} = 0{,}8\ \mathrm{g/cm^3}$ в съда до момента, в който нишката се скъсва. Ако знаете, че максималната сила на опън (при скъсването) на нишката е $T_{\max} = 48\ \mathrm{N}$ , определете височината $h$ на слоя олио в момента на скъсването на нишката. [3 т.]

г) След като нишката се скъсва, кубът плава само в олиото, като се намира в равновесие. Намерете до каква дълбочина $d$ е потопен кубът в този случай. [2,5 т.]

Решение

а) Архимедовата сила е равна на теглото на изместената от куба вода: $F_{\mathrm{A}} = \frac{\rho_{\mathrm{в}}Vg}{2}$ [0,5 т.], където с $V$ сме означили обема на куба, т.е. $F_{\mathrm{A}} = \frac{\rho_{\mathrm{в}}a^3g}{2} = 40\ \mathrm{N}$ [1 т.].

б) На куба действат три сили: силата на тежестта $G = \rho_{\mathrm{к}}Vg = \rho_{\mathrm{к}}a^3g$ , която е насочена надолу [0,5 т.]; силата на опън $T$ на нишката, която е насочена отново надолу [0,5 т.]; Архимедовата сила $F_{\mathrm{A}} = \frac{\rho_{\mathrm{в}}a^3g}{2}$ , която е насочена нагоре [0,5 т.]. От условието за равновесие на куба във вертикално направление следва, че $G + T = F_{\mathrm{A}}$ [0,5 т.], откъдето $\rho_{\mathrm{к}} = \frac{\rho_{\mathrm{в}}}{2} - \frac{T}{ga^3} = 0{,}2\ \mathrm{g/cm^3}$ [1 т.].

в) До момента на скъсването на нишката кубът е в равновесие, т.е. $G + T_{\max} = F_{\mathrm{A,max}}$ [0,5 т.], като максималната Архимедова сила $F_{\mathrm{A,max}} = \frac{\rho_{\mathrm{в}}a^3g}{2} + \rho_{\mathrm{о}}a^2hg$ [0,5 т.]. Оттук $\rho_{\mathrm{о}}a^2hg = T_{\max} - T$ [1 т.] и $h = \frac{T_{\max}-T}{\rho_{\mathrm{о}}a^2g} = 7{,}5\ \mathrm{cm}$ [1 т.].

г) След скъсването на нишката кубът се издига нагоре и окончателно се намира в равновесие, като е потопен само в олиото, т.е. $G = F'_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{о}}a^2dg$ . [1 т.] Дълбочината на потапяне на куба е $d = \frac{G}{\rho_{\mathrm{о}}a^2g} = \frac{F_{\mathrm{A}}-T}{\rho_{\mathrm{о}}a^2g}$ [0,5 т.], откъдето $d = \frac{\rho_{\mathrm{в}}a}{2\rho_{\mathrm{о}}} - \frac{T}{\rho_{\mathrm{о}}a^2g} = 5\ \mathrm{cm}$ [1 т.].

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2020_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_9solutions.pdf