НОФ 2020, III кръг (национален), 10. клас — Задача 1. Трептене на махало

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 28 юни 2020 г. · 10 т.

Условие

Математическо махало с дължина $l$ е окачено в т. $O$ на стена, наклонена под малък ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата (фиг. 1). Махалото е отклонено от равновесното му положение на малък ъгъл $\beta$, като $\beta > \alpha$, и е пуснато. То достига до стената със скорост $\upsilon$, удря се в нея и отскача в обратна посока със същата по големина скорост. Получава се махало, което в дясно се отклонява до ъгъл $\beta$, а в ляво до ъгъл $\alpha$.

а) Намерете израз за скоростта $\upsilon$, като отчетете, че при малки ъгли $\beta = L/l \ll 1$*, където $L$ е дължината на дъгата, съответстваща на централния ъгъл $\beta$, може да се използва приближението $\sin\beta \approx \beta$. Запишете резултата чрез $g$, $l$, $\alpha$ и $\beta$.

*Пояснение. Така дефинираният ъгъл се измерва с единицата радиан, като $90^\circ = \pi/2$ радиана. В приближението $\sin\beta \approx \beta$ ъгълът $\beta$ се измерва в радиани. [3,5 т.]

б) Получете приближен израз за периода $T$ на махалото. Направете числена оценка при $\alpha/\beta = 1/\sqrt{2}$, ако периодът на махалото при $\alpha > \beta$ е $T_0 = 1\ \mathrm{s}$.

Полезна тригонометрична формула: $2\sin^2\varphi = 1 - \cos 2\varphi$. [6,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2020_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_10solutions.pdf