Съдържание

НОФ 2020, III кръг (национален), 10. клас — Задача 3. Еднородна верижка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 28 юни 2020 г. · 10 т.

Условие

Еднородна верижка с маса $m = 0{,}2\ \mathrm{kg}$ и дължина $L = 75\ \mathrm{cm}$ е прикрепена към трупче с маса $2m$ , намиращо се върху хоризонталната повърхност на плот на маса, като половината от верижката виси от плота (фиг. 2). Коефициентът на триене между трупчето и плота на масата е $\mu = 0{,}15$ , докато триенето между верижката и плота се пренебрегва. Първоначално трупчето се удържа неподвижно, след което се пуска.

Маса с плот; през заоблен ръб P минава верижка — половината с дължина L/2 лежи хоризонтално и е закачена за трупче 2m, другата половина L/2 виси вертикално. — Фиг. 2. Начално положение: половината от верижката ( $L/2$ ) лежи върху плота и е закрепена за трупчето с маса $2m$ , а другата половина виси през ръба $P$ .

Същата маса; цялата верижка с дължина L вече виси вертикално от ръба, а трупчето е стигнало до ръба на плота. — Фиг. 3. Положението, в което цялата верижка с дължина $L$ виси от плота, а трупчето е достигнало ръба.

При извършване на пресмятанията използвайте $g \approx 10\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ .

а) Намерете ускорението $a$ на трупчето в началния момент при пускането му, силата $T_1$ , с която верижката дърпа трупчето, и силата $T_2$ , с която провисналата част на верижката дърпа хоризонталната ѝ част и трупчето. [5 т.]

б) Определете скоростта $\upsilon$ на трупчето в момента, когато верижката е достигнала положението, показано на фиг. 3. [5 т.]

Отговори

Решение

а) На трупчето действат две сили – $T_1$ наляво и силата на триене $f = 2mg\mu$ надясно. [0,5 т.] Уравнението на движение има вида

(1)\qquad 2ma = T_1 - 2mg\mu.

[0,5 т.]

Уравнението на движение на хоризонталната част от верижката е

(2)\qquad \frac{m}{2}a = T_2 - T_1,

[0,5 т.]

а уравнението за движение на вертикалната част от верижката е

(3)\qquad \frac{m}{2}a = \frac{m}{2}g - T_2.

[0,5 т.]

Събираме уравненията (1), (2) и (3) почленно, съкращаваме на $m$ и определяме

a = \frac{1}{6}(1-4\mu)g \approx 0{,}67\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.

[1 т.]

След заместване на $a$ в уравнение (1) намираме

T_1 = \frac{1}{3}(1+2\mu)mg \approx 0{,}87\ \mathrm{N},

[1 т.]

а от (3) следва

T_2 = \frac{5}{12}\left(1+\frac{4}{5}\mu\right)mg \approx 0{,}93\ \mathrm{N}.

[1 т.]

б) За определяне на скоростта $\upsilon$ ще използваме закона за изменение на механичната енергия на системата

(4)\qquad \Delta E = E_2 - E_1 = A_f,

[1 т.]

където $E_1$ е механичната енергия за ситуацията на фиг. 1, $E_2$ – за ситуацията на фиг. 2, а $A_f$ е работата на силата на триене. Като приемем, че нулевото ниво на потенциалната енергия съответства на нивото на плота, имаме

E_1 = -\frac{m}{2}g\frac{L}{4} = -\frac{mgL}{8},

[1 т.]

E_2 = \frac{(2m)\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{2}-mg\frac{L}{2},

[1 т.]

A_f = -f\frac{L}{2} = -\mu(2mg)\frac{L}{2} = -\mu mgL.

[1 т.]

Като заместим получените изрази в (4) намираме

\upsilon = \sqrt{1-\frac{8}{3}\mu}\times\sqrt{\frac{gL}{4}} \approx 1{,}1\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

[1 т.]

Бележка: в оригиналното решение чертежите са цитирани като „фиг. 1“ и „фиг. 2“, а в условието същите са номерирани „фиг. 2“ и „фиг. 3“.

Оригинал в Архива: NOF3_2020_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_10solutions.pdf