НОФ 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Хари Потър играе магьосническата игра “куидич”

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 28 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Магьосническата игра “куидич” представлява вид баскетбол, но вместо играчите да са на земята, те летят на летящи магьоснически метли. Хари Потър се намира на височина $a$ от земята с неговата магьосническа метла (“Нимбус 2000” – най-бързата на света по това време). Той вижда своя съотборник - Фред Уизли, на височина $b$ от земната повърхност ($b > a$). Фред се намира на разстояние $l$ от Хари, мерено по хоризонталата, тоест проекциите на Хари и на Фред върху земната повърхност се намират на разстояние $l$ една от друга. Хари подава топката (специална топка, която се казва “куофъл”) на Фред.

(a) Изберете координатна система и в нея напишете закона за пътя и за скоростта на движение на куофъла, ако Хари го е хвърлил под ъгъл $\alpha$ с начална скорост $v_0$. Считаме, че никаква магия не действа върху куофъла, докато той се движи, а единствено законите на физиката, вблизост до земната повърхност със земно ускорение $g$. [2 т.]

(b) Ако куофълът попада точно при Фред, а Фред не се е преместил от началното си положение, изразете скоростта на куофъла, с която Хари го е хвърлил, чрез $\alpha$, $a$, $b$ и $l$. [4 т.]

(c) От получения израз намерете минималната скорост, с която Хари трябва да хвърли куофъла, така че той да попадне точно при Фред.

Упътване: В зависимост от начина на решение можете да намерите максимума (минимума) на израз от вида $A\sin(x) - B\cos(x)$, като го умножите и разделите на $\sqrt{A^2+B^2}$ и отчетете, че съществува ъгъл $\theta$, такъв че $\mathrm{tg}(\theta) = \frac{B}{A}$. По този начин: $A\sin(x) - B\cos(x) = \sqrt{A^2+B^2}\sin(x-\theta)$. [4 т.]

(d) Докажете, че ъгълът на хвърляне при тази минимална скорост е равен на половината от тъпия ъгъл, който сключва правата между Хари и Фред с вертикалата. [3 т.]

(e) Разгледайте частния случай, когато $b = a$, тоест Хари и Фред летят на една и съща височина. Колко е ъгълът $\alpha$ тогава, ако Хари е хвърлил куофъла с минималната скорост за да достигне той Фред? [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_11-12solutions.pdf