НОФ 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Физика и техника на ниските температури

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 28 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

В техниката на ниските температури голям проблем е поддържането на ниска температура на едно тяло поради топлообмена с околните тела, имащи по-висока температура. Този топлообмен може да се намали с така наречените „топлинни екрани“. Ще разгледаме прост модел на две безкрайни успоредни равнини (тела). Пространството между тях е вакуумирано и те си обменят топлина само чрез топлинно излъчване. По-топлата равнина се поддържа при температура $T_H$, а по-студената – при температура $T_L$. Нека резултантната получена топлина на единица площ за единица време от по-студената равнина е $S(0)$. Между тези две равнини се вмъкват $N$ допълнителни равнини (тела), успоредни на двете тела. Те се наричат топлинни екрани. След достатъчно дълго време температурите на екраните престават да се променят. В тази ситуация резултантната получена топлина на единица площ за единица време от по-студената равнина е $S(N)$. Всички тела излъчват и поглъщат топлина като абсолютно черни тела.

Фундаментални и материални константи:

константа на Стефан-Болцман $\sigma = 5{,}67.\,10^{-8}\ \mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}$

специфична топлина на изпарение на течния азот $\lambda = 2{,}01.10^5\ \mathrm{J/kg}$

плътност на течния азот $\rho_{N_2} = 808\ \mathrm{kg/m^3}$

плътност на медта $\rho_{Cu} = 8960\ \mathrm{kg/m^3}$

а) Получете формула за отношението $S(0)/S(N)$. [4 т.]

б) Ако $N = 2$, получете формула за температурите $T_1$ и $T_2$ на двата топлинни екрана 1 и 2 ($T_1 > T_2$). [2 т.]

в) Изчислете стойностите на температурите $T_1$ и $T_2$ от подточка б), ако $T_H = 300\ \mathrm{K}$, а $T_L = 77{,}4\ \mathrm{K}$. [1 т.]

г) Нека сега разгледаме една по-реалистична ситуация. Охлажданото тяло е плътно медно кълбо с радиус $r_L = 10{,}0\ \mathrm{cm}$. То е поставено в кухината на криостат (хладилник) с температура $T_H = 300\ \mathrm{K}$, която също има форма на кълбо, като радиусът на кухината на криостата $r_H$ е много близък до този на медното кълбо ($r_H - r_L \ll r_L$). Пространството между тях е вакуумирано. Медното кълбо се охлажда за сметка на погълнатата топлина при кипенето на течен азот, като температурата му $T_L$ не се променя и съвпада с тази на температурата на кипене на азота, $T_L = T_{liqN_2} = 77{,}4\ \mathrm{K}$ (т.е. в медното кълбо влиза течен азот, а излиза газ азот при същата температура. Кухините в него, по които минава азотът, имат пренебрежим обем).

Изчислете консумацията ($\frac{\Delta V}{\Delta t}$, $\frac{l}{h}$, в литри за час) на течен азот за поддържане на ниската температура на тялото. [2 т.]

д) Изведнъж охлаждането с течен азот спряло и тялото започнало да се стопля. Ако за $\Delta t = 10$ минути температурата му се е повишила с $\Delta T = 4{,}55\ \mathrm{K}$, изчислете специфичния топлинен капацитет $c(77{,}4\ \mathrm{K})$ на медта при тази температура. Приемете, че температурата в целия обем на медното кълбо винаги е една и съща и че специфичният топлинен капацитет е константа в този температурен интервал. [2 т.]

е) Оказало се, че така измереният специфичен топлинен капацитет на медта при тази температура е по-малък от този при стайна температура. Измерванията му при още по-ниски температури показали, че той продължава да намалява с намаляването на температурата. При много ниски температури той зависи от температурата така: $c(T) = a.T + b.T^3$. Теорията обяснява тази зависимост по следния начин: линейният член се дължи на топлинния капацитет на свободните електрони (електронния газ в метала), а кубичният – на топлинния капацитет на атомните трептения (механичните вълни, разпространяващи се в кристалната решетка на медта). Експерименталните данни за специфичния топлинен капацитет на медта при много ниски (хелиеви) температури са дадени в таблицата вдясно.

$T$, K	$c(T)$, J/kg.K
2,0	0,0278
3,0	0,0530
4,0	0,0916
5,0	0,148
6,0	0,228
7,0	0,335
8,0	0,474
9,0	0,651
10,0	0,873

Като изполвате приложената графична хартия, изчислете графично константите $a$ и $b$. [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_11-12solutions.pdf