Съдържание

НОФ 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Физика и техника на ниските температури

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 28 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

В техниката на ниските температури голям проблем е поддържането на ниска температура на едно тяло поради топлообмена с околните тела, имащи по-висока температура. Този топлообмен може да се намали с така наречените „топлинни екрани“. Ще разгледаме прост модел на две безкрайни успоредни равнини (тела). Пространството между тях е вакуумирано и те си обменят топлина само чрез топлинно излъчване. По-топлата равнина се поддържа при температура $T_H$ , а по-студената – при температура $T_L$ . Нека резултантната получена топлина на единица площ за единица време от по-студената равнина е $S(0)$ . Между тези две равнини се вмъкват $N$ допълнителни равнини (тела), успоредни на двете тела. Те се наричат топлинни екрани. След достатъчно дълго време температурите на екраните престават да се променят. В тази ситуация резултантната получена топлина на единица площ за единица време от по-студената равнина е $S(N)$ . Всички тела излъчват и поглъщат топлина като абсолютно черни тела.

Фундаментални и материални константи:

константа на Стефан-Болцман $\sigma = 5{,}67.\,10^{-8}\ \mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}$

специфична топлина на изпарение на течния азот $\lambda = 2{,}01.10^5\ \mathrm{J/kg}$

плътност на течния азот $\rho_{N_2} = 808\ \mathrm{kg/m^3}$

плътност на медта $\rho_{Cu} = 8960\ \mathrm{kg/m^3}$

а) Получете формула за отношението $S(0)/S(N)$ . [4 т.]

б) Ако $N = 2$ , получете формула за температурите $T_1$ и $T_2$ на двата топлинни екрана 1 и 2 ( $T_1 > T_2$ ). [2 т.]

в) Изчислете стойностите на температурите $T_1$ и $T_2$ от подточка б), ако $T_H = 300\ \mathrm{K}$ , а $T_L = 77{,}4\ \mathrm{K}$ . [1 т.]

г) Нека сега разгледаме една по-реалистична ситуация. Охлажданото тяло е плътно медно кълбо с радиус $r_L = 10{,}0\ \mathrm{cm}$ . То е поставено в кухината на криостат (хладилник) с температура $T_H = 300\ \mathrm{K}$ , която също има форма на кълбо, като радиусът на кухината на криостата $r_H$ е много близък до този на медното кълбо ( $r_H - r_L \ll r_L$ ). Пространството между тях е вакуумирано. Медното кълбо се охлажда за сметка на погълнатата топлина при кипенето на течен азот, като температурата му $T_L$ не се променя и съвпада с тази на температурата на кипене на азота, $T_L = T_{liqN_2} = 77{,}4\ \mathrm{K}$ (т.е. в медното кълбо влиза течен азот, а излиза газ азот при същата температура. Кухините в него, по които минава азотът, имат пренебрежим обем).

Изчислете консумацията ( $\frac{\Delta V}{\Delta t}$ , $\frac{l}{h}$ , в литри за час) на течен азот за поддържане на ниската температура на тялото. [2 т.]

д) Изведнъж охлаждането с течен азот спряло и тялото започнало да се стопля. Ако за $\Delta t = 10$ минути температурата му се е повишила с $\Delta T = 4{,}55\ \mathrm{K}$ , изчислете специфичния топлинен капацитет $c(77{,}4\ \mathrm{K})$ на медта при тази температура. Приемете, че температурата в целия обем на медното кълбо винаги е една и съща и че специфичният топлинен капацитет е константа в този температурен интервал. [2 т.]

е) Оказало се, че така измереният специфичен топлинен капацитет на медта при тази температура е по-малък от този при стайна температура. Измерванията му при още по-ниски температури показали, че той продължава да намалява с намаляването на температурата. При много ниски температури той зависи от температурата така: $c(T) = a.T + b.T^3$ . Теорията обяснява тази зависимост по следния начин: линейният член се дължи на топлинния капацитет на свободните електрони (електронния газ в метала), а кубичният – на топлинния капацитет на атомните трептения (механичните вълни, разпространяващи се в кристалната решетка на медта). Експерименталните данни за специфичния топлинен капацитет на медта при много ниски (хелиеви) температури са дадени в таблицата вдясно.

$T$ , K	$c(T)$ , J/kg.K
2,0	0,0278
3,0	0,0530
4,0	0,0916
5,0	0,148
6,0	0,228
7,0	0,335
8,0	0,474
9,0	0,651
10,0	0,873

Като изполвате приложената графична хартия, изчислете графично константите $a$ и $b$ . [4 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като студеното тяло излъчва като абсолютно черно тяло, излъчената от него енергия за единица време от единица площ по закона на Стефан-Болцман е $\frac{\Delta E_L}{\Delta S \Delta t} = \sigma T_L^{\,4}$ . В същото време то получава излъчената енергия от по-топлото тяло $\frac{\Delta E_H}{\Delta S \Delta t} = \sigma T_H^{\,4}$ . Следователно $S(0) = \sigma\left(T_H^{\,4} - T_L^{\,4}\right)$ . [1 т.] При наличие на топлинни екрани, тъй като температурата на $k$ -ия екран не се променя, то колкото енергия излъчва, толкова трябва и да получава, следователно $2\sigma T_k^{\,4} = \sigma T_{k-1}^{\,4} + \sigma T_{k+1}^{\,4}$ , или $\sigma\left(T_{k-1}^{\,4} - T_k^{\,4}\right) = \sigma\left(T_k^{\,4} - T_{k+1}^{\,4}\right)$ . Тъй като това може да се напише за всеки екран, то $\sigma\left(T_H^{\,4} - T_1^{\,4}\right) = \sigma\left(T_1^{\,4} - T_2^{\,4}\right) = \cdots = \sigma\left(T_N^{\,4} - T_L^{\,4}\right)$ . [1 т.] От тези $N$ равенства следва, че $\sigma\left(T_N^{\,4} - T_L^{\,4}\right) = \frac{1}{N+1}\sigma\left(T_H^{\,4} - T_L^{\,4}\right)$ . Но $S(N) = \sigma\left(T_N^{\,4} - T_L^{\,4}\right)$ , следователно $\frac{S(0)}{S(N)} = N+1$ . [2 т.]

б) При $N = 2$ , $2T_1^{\,4} = T_2^{\,4} + T_H^{\,4}$ и $2T_2^{\,4} = T_1^{\,4} + T_L^{\,4}$ . От тези две уравнения с две неизвестни се получава $T_1^{\,4} = \frac{1}{3}\left(2T_H^{\,4} + T_L^{\,4}\right)$ [1 т.] и получава $T_2^{\,4} = \frac{1}{3}\left(T_H^{\,4} + 2T_L^{\,4}\right)$ . [1 т.]

в) Замествайки в горните формули $T_1 \approx 271\ \mathrm{K}$ [0,5 т.] и $T_2 \approx 228\ \mathrm{K}$ . [0,5 т.]

г) Когато температурата на медното кълбо не се променя, получената топлина от криостата със стайна температура трябва да се изразходва за кипене на течния азот. При малки разстояния между кълбото и криостата ( $r_H - r_L \ll r_L$ ) може да се приеме, че кривината не е съществена и може да се използва същата формула като в случая на плоски тела (равнини). Тогава $\Delta Q_{\text{получено}} = \Delta Q_{\text{кипене}}$ , $\sigma\left(T_H^{\,4} - T_L^{\,4}\right)4\pi r_L^2 \Delta t = \lambda \Delta m = \lambda \rho_{N_2}\Delta V$ . Следователно консумацията на течен азот $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{\sigma\left(T_H^{\,4}-T_L^{\,4}\right)4\pi r_L^2}{\lambda \rho_{N_2}}$ [1 т.] $= \frac{5{,}67.10^{-8}\,\mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}\left(300^4 - 77{,}4^4\right)\mathrm{K^4}\,4\pi\,0{,}1^2\,\mathrm{m^2}}{2{,}01.10^5\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}.808\ \mathrm{kg/m^3}} = 3{,}54.10^{-7}\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}27\ \mathrm{l/h}$ . [1 т.]

д) Получената топлина от околния криостат ще нагрява медното кълбо,

\sigma\left(T_H^{\,4} - T_L^{\,4}\right)4\pi r_L^2 \Delta t = c(77{,}4\ \mathrm{K}).m.\Delta T = c(77{,}4\ \mathrm{K})\rho_{Cu}\frac{4}{3}\pi r_L^3 \Delta T,

откъдето

c(77{,}4\ \mathrm{K}) = \frac{\sigma\left(T_H^{\,4}-T_L^{\,4}\right)4\pi r_L^2 \Delta t}{\frac{4}{3}\pi r_L^3 \rho_{Cu}\Delta T} = \frac{3\sigma\left(T_H^{\,4}-T_L^{\,4}\right)\Delta t}{r_L \rho_{Cu}\Delta T} =

[1 т.]

= \frac{3.5{,}67.10^{-8}\,\mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}\left(300^4 - 77{,}4^4\right)\mathrm{K^4}\,600\,\mathrm{s}}{0{,}1\,\mathrm{m}.8960\,\mathrm{kg.m^{-3}}.4{,}55\,\mathrm{K}} \approx 202\ \mathrm{J/(kg.K)}.

[1 т.]

е) При такава зависимост удобно е тя да се представи като $\frac{c(T)}{T} = a + b.T^2$ . [0,5 т.] При променливи $x = T^2$ и $y = \frac{c(T)}{T}$ зависимостта ще е линейна, $y = a + b.x$ . Наклонът на правата е равен на $b$ , а свободният член е $a$ . Допълваме таблицата с новите променливи: [0,5 т.] Чертаем графиката [1 т.] и от нея определяме графично коефициентите $a \approx 0{,}011\ \mathrm{J.kg^{-1}.K^{-2}}$ [1 т.] и $b \approx 7{,}6.\,10^{-4}\ \mathrm{J.kg^{-1}.K^{-4}}$ . [1 т.]

$T$ , K	$c(T)$ , J/kg.K	$T^2$ , K $^2$	$c(T)/T$ , J.kg $^{-1}$ .K $^{-2}$
2,0	0,0278	4,0	0,0139
3,0	0,0530	9,0	0,0177
4,0	0,0916	16,0	0,0229
5,0	0,148	25,0	0,0297
6,0	0,228	36,0	0,0380
7,0	0,335	49,0	0,0479
8,0	0,474	64,0	0,0592
9,0	0,651	81,0	0,0724
10,0	0,873	100,0	0,0873

Използвана литература (данни): G. K. White and S. J. Collocott, J. Phys. Chem. Ref. Data, 13, 1251 (1984).

Права през експерименталните точки в координати c(T)/T спрямо T на квадрат, с означени отрез a и наклон b. — Линеаризираната зависимост $c(T)/T$ спрямо $T^2$ : отрезът дава $a = 0{,}011\ \mathrm{J.kg^{-1}K^{-2}}$ , а наклонът $b = (0{,}0873 - 0{,}011)/100 = 7{,}6.10^{-4}\ \mathrm{J.kg^{-1}K^{-4}}$ .

Оригинал в Архива: NOF3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_11-12solutions.pdf