Съдържание

НОФ 2020, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Механичен коктейл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, национален кръг — тема за 8. клас (втора състезателна група) · 28 юни 2020 г. · 10 т.

Условие

Двете подусловия на задачата са независими едно от друго

А) Две книги, всяка с по 100 листа*, са поставени така, че всеки лист на едната книга се намира между два листа на другата книга, с изключени на първия лист на едната книга и последния лист на другата книга (фиг. 2, а). Листата са правоъгълни с размери 20 cm $\times$ 30 cm и с повърхнинна плътност** $50\ \mathrm{g/m^2}$ . Коефициентът на триене между листата е k = 0,6. Книгите се намират върху гладка хоризонтална повърхност.

Каква минимална хоризонтална сила F трябва да бъде приложена към всяка от книгите, така че те да бъдат отделени една от друга?

* Приемете, че книгите нямат корици. Не бъркайте лист със страница – един лист има две страници.

** Повърхнинна плътност е масата на единица площ от лист хартия. Обикновено се измерва в грамове на квадратен метър.

Полезна формула: Сумата на първите N естествени числа е:

1 + 2 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}

[6 т.]

Б) Две еднакви малки метални топчета са свързани с тел, огъната под формата на буквата „П“, както е показано на фиг. 2, б – вляво. Масата на телта е пренебрежима в сравнение с масата на топчетата. Размерите на телта са показани на фигурата.

Телта е окачена на пирона $O$ , забит в стената (фиг. 2, б – вдясно). Какъв ъгъл $\alpha$ с вертикалата сключва дългата страна на телта, когато топчетата се намират в равновесие? [4 т.]

Две книги с преплетени листа върху хоризонтална повърхност, теглени в противоположни посоки с равни сили F. — Фиг. 2, а — двете преплетени книги, разтегляни с хоризонтални сили $F$ .

Вляво П-образна тел: хоризонтална част 40 cm и две вертикални части по 20 cm с топче на всеки край. Вдясно същата тел, окачена на пирон O, наклонена така, че дългата ѝ страна сключва ъгъл алфа с вертикалата. — Фиг. 2, б — вляво размерите на П-образната тел с двете топчета; вдясно телта, окачена на пирона $O$ , и ъгълът $\alpha$ с вертикалата.

Отговори

Решение

А) Площта на листа, изразена в квадратни метри, е:

(1)\qquad S = 0{,}2\ \mathrm{m}\ .\ 0{,}3\ \mathrm{m} = 0{,}06\ \mathrm{m^2},

[0,5 т]

масата ѝ:

(2)\qquad m = 50\,\mathrm{g/m^2}\ .\ 0{,}06\ \mathrm{m^2} = 3\ \mathrm{g} = 0{,}003\ \mathrm{kg},

[0,5 т]

а теглото на листа – съответно:

(3)\qquad P = mg = 0{,}003\ \mathrm{kg}\ .\ 10\ \mathrm{m/s^2} = 0{,}03\ \mathrm{N}.

[0,5 т]

Да означим с 1 книгата, чийто първи лист се намира най-отгоре, а с 2 – другата книга, чийто последен лист лежи върху масата. Върху n-тия лист на първата книга „тежат“ $n - 1$ листа от същата книга и още толкова листа от втората книга. Следователно общият натиск, който оказват тези листа върху n-тия лист, е:

(4)\qquad N_1 = 2(n-1)P,

[1,0 т]

а максималната сила на триене върху горната повърхност на листа – съответно:

(5)\qquad f_1 = kN_1 = 2(n-1)kP,

[0,5 т]

n-тият лист на книгата 1 оказва върху намиращият се под него лист на книгата 2 натиск:

(6)\qquad N_2 = N_1 + P = (2n-1)P.

[1,0 т]

Следователно силата на триене върху долната повърхност на листа е:

(7)\qquad f_2 = kN_2 = (2n-1)kP,

[0,5 т]

а общата сила на триене върху избрания лист:

(8)\qquad f = f_1 + f_2 = (4n-3)kP,

[0,5 т]

Като сумираме силите на триене, действащи върху всички листа на книгата 1 (n = 1…100), получаваме общата сила F, нужна за разделяне на двете книги:

(9)\qquad F = \{4.(1+2+\cdots+100) - 3.100\}kP = 19\,900\ kP \approx 358\ \mathrm{N}.

[1,0 т]

Б) В състояние на равновесие центърът на тежестта на тялото се намира вертикално под точката на окачване, т.е. под т. $O$ (1 т). Тъй като масата на телта е пренебрежимо малка, а двете топчета са еднакви, центърът $C$ на тежестта се намира по средата между двете топчета (1 т). Следователно вертикалната права, минаваща през т. $O$ , разполовява отсечката, свързваща двете топчета на две части с дължина 20 cm всяка (1 т). От чертежа е ясно, че $\alpha = 45^\circ$ (1 т).

Чертеж на окачената П-образна тел: страните по 20 cm, център на тежестта C по средата на отсечката между топчетата, вертикалата през O минава през C и сключва 45° с дългата страна. — Решение на подусловие Б): вертикалата през $O$ минава през центъра на тежестта $C$ — средата на отсечката между топчетата; оттук $\alpha = 45^\circ$ .

Оригинал в Архива: NOF3_2020_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_8solutions.pdf