НОФ 2020, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Удар между две тела

• а) $v_{\mathrm{A}} = -0{,}6\ \mathrm{m/s}\ \text{(I случай)};\quad v_{\mathrm{A}} = -1{,}8\ \mathrm{m/s}\ \text{(II случай)}$

  Условието изисква разглеждане на всички възможни случаи, затова има две допустими стойности (толеранс ±0,05 m/s).

• б) $v_{\mathrm{B}} = -0{,}2\ \mathrm{m/s}\ \text{(I случай)};\quad v_{\mathrm{B}} = 1{,}0\ \mathrm{m/s}\ \text{(II случай)}$

  Две допустими стойности според случая (толеранс ±0,05 m/s).

• в) $x_{\mathrm{у}1} = -1{,}0\ \mathrm{m};\quad x_{\mathrm{у}2} = \frac{41}{7} \approx 5{,}86\ \mathrm{m}$

  Толеранс ±0,05 m; графичното решение дава 5,85 m за втория случай.

• г) $t_{\mathrm{у}1} = 20{,}0\ \mathrm{s};\quad t_{\mathrm{у}2} = \frac{20}{7} \approx 2{,}86\ \mathrm{s}$

  Толеранс ±0,05 s; графичното решение дава 2,85 s за втория случай.

Графично решение – начертаваме на графичната хартия 4-те точки (положенията на телата А и В и моментите $t_1$ и $t_2$) :

Първи случай ([5 т.]) – В интервала (0, 5 s) телата не се удрят. Тогава техните графики на движение са правите, минаващи съответно през точките $(t_1, x_{1\mathrm{A}})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{A}})$ (за тяло А) и $(t_1, x_{1\mathrm{B}})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{B}})$ (за тяло В). Те се пресичат в мястото на удара $\mathrm{У}_1$. От графиката се вижда, че пресечната точка (времето и мястото на удара) има координати $t_{\mathrm{у}1} = 20,0$ s [1 т.] и $x_{\mathrm{у}1} = -\ 1,0$ m. [1 т.] Скоростта на тялото А преди удара е $v_{\mathrm{A}} = \frac{x_{2\mathrm{A}}-x_{1\mathrm{A}}}{t_2-t_1} = \frac{8\ \mathrm{m}-11\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = -\ 0,6$ m/s. [1,5 т.] Скоростта на тялото В преди удара е $v_{\mathrm{B}} = \frac{x_{2\mathrm{B}}-x_{1\mathrm{B}}}{t_2-t_1} = \frac{2\ \mathrm{m}-3\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = -\ 0,2$ m/s. [1,5 т.] (знакът „$-$“ показва, че и двете тела се движат наляво, ако оста е ориентирана надясно).

Втори случай ([5 т.]) – В интервала (0, 5 s) телата се удрят. Тогава техните графики на движение до удара са правите, минаващи съответно през точките $(t_1, x_{1\mathrm{A}})$ и $(t_{\mathrm{у}2}, x_{\mathrm{у}2})$ (за тяло А) и $(t_1, x_{1\mathrm{B}})$ и $(t_{\mathrm{у}2}, x_{\mathrm{у}2})$ (за тяло В). Те се пресичат в мястото на удара $\mathrm{У}_2$. Графиките на движение на двете тела след удара са правите, минаващи съответно през точките $(t_{\mathrm{у}2}, x_{\mathrm{у}2})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{A}})$ (за тяло А) и $(t_{\mathrm{у}2}, x_{\mathrm{у}2})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{B}})$ (за тяло В). Тъй като телата при удара си „разменят“ скоростите и скоростите на тяло А преди удара и тяло В след удара са равни, то правите имат еднакъв наклон и съвпадат, т.е. $\mathrm{У}_2$ е пресечната точка на правите, минаващи през $(t_1, x_{1\mathrm{A}})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{B}})$ и съответно през $(t_1, x_{1\mathrm{B}})$ и $(t_2, x_{2\mathrm{A}})$. От графиката се вижда, че пресечната точка $\mathrm{У}_2$ (времето и мястото на удара) има координати $t_{\mathrm{у}2} \approx 2,85$ s [1 т.] и $x_{\mathrm{у}2} \approx 5,85$ m. [1 т.] Скоростта на тялото А преди удара е $v_{\mathrm{A}} = \frac{x_{2\mathrm{B}}-x_{1\mathrm{A}}}{t_2-t_1} = \frac{2\ \mathrm{m}-11\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = -\ 1,8$ m/s. [1,5 т.] Скоростта на тялото В преди удара е $v_{\mathrm{B}} = \frac{x_{2\mathrm{A}}-x_{1\mathrm{B}}}{t_2-t_1} = \frac{8\ \mathrm{m}-3\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = 1,0$ m/s. [1,5 т.] (в този случай преди удара телата се движат едно срещу друго в противоположни посоки).

Аналитично решение

Първи случай ([5 т.]) – В интервала (0, 5 s) телата не се удрят. Тогава скоростта на тялото А преди удара е $v_{\mathrm{A}} = \frac{x_{2\mathrm{A}}-x_{1\mathrm{A}}}{t_2-t_1} = \frac{8\ \mathrm{m}-11\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = -\ 0,6$ m/s. [1,5 т.] Скоростта на тялото В преди удара е $v_{\mathrm{B}} = \frac{x_{2\mathrm{B}}-x_{1\mathrm{B}}}{t_2-t_1} = \frac{2\ \mathrm{m}-3\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}} = -\ 0,2$ m/s. [1,5 т.] (знакът „$-$“ показва, че и двете тела се движат наляво, ако оста е ориентирана надясно). В момента на удара $t_{\mathrm{у}1}$ те ще се намират на едно и също място. Тъй като закона за движение на тяло А е $x_{\mathrm{A}}(t) = x_{1\mathrm{A}} + v_{\mathrm{A}}t$ , а на В е $x_{\mathrm{B}}(t) = x_{1\mathrm{B}} + v_{\mathrm{B}}t$ , то в момента на удара $t_{\mathrm{у}1}$ , $x_{\mathrm{A}}(t_{\mathrm{у}1}) = x_{\mathrm{B}}(t_{\mathrm{у}1})$, $x_{1\mathrm{A}} + v_{\mathrm{A}}t_{\mathrm{у}1} = x_{1\mathrm{B}} + v_{\mathrm{B}}t_{\mathrm{у}1}$, откъдето $t_{\mathrm{у}1} = \frac{x_{1\mathrm{A}}-x_{1\mathrm{B}}}{v_{\mathrm{B}}-v_{\mathrm{A}}} = \frac{3,0\ \mathrm{m}-11,0\ \mathrm{m}}{-0,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-(-0,2)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = 20,0$ s. [1 т.] Замествайки в един от двата закона за движение (напр. за тялото А), $x_{\mathrm{A}}(t_{\mathrm{у}1}) = x_{1\mathrm{A}} + v_{\mathrm{A}}t_{\mathrm{у}1} = 11,0\ \mathrm{m} + \left(-0,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).20,0\ \mathrm{s} = -\ 1,0$ m. [1 т.]

Втори случай ([5 т.]) – В интервала (0, 5 s) телата се удрят. Тогава, ако $t_{\mathrm{у}2}$ и $x_{\mathrm{у}2}$ са моментът и мястото на удара, то можем да напишем законите за движение за двете тела за момента на удара и за момента $t_2$:

$x_{\mathrm{у}2} = x_{1\mathrm{A}} + v_{\mathrm{A}}t_{\mathrm{у}2}$

$x_{\mathrm{у}2} = x_{1\mathrm{B}} + v_{\mathrm{B}}t_{\mathrm{у}2}$

$x_{2\mathrm{A}} = x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{B}}(t_2 - t_{\mathrm{у}2})$

$x_{2\mathrm{B}} = x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{A}}(t_2 - t_{\mathrm{у}2}).$

Заместваме с дадените стойности:

$x_{\mathrm{у}2} = 11 + v_{\mathrm{A}}t_{\mathrm{у}2}$ (1)

$x_{\mathrm{у}2} = 3 + v_{\mathrm{B}}t_{\mathrm{у}2}$ (2)

$8 = x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{B}}(5 - t_{\mathrm{у}2})$ (3)

$2 = x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{A}}(5 - t_{\mathrm{у}2}).$ (4)

На пръв поглед това е сложна система от 4 уравнения с 4 неизвестни.

Обаче ако съберем (1) с (4), получаваме съответно $x_{\mathrm{у}2} + 2 = 11 + x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{A}}t_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{A}}(5 - t_{\mathrm{у}2})$, откъдето $v_{\mathrm{A}} = \frac{-9}{5} = -\ 1,8$ m/s. [1,5 т.]

Аналогично ако съберем (2) с (3) получаваме съответно $x_{\mathrm{у}2} + 8 = 3 + v_{\mathrm{B}}t_{\mathrm{у}2} + x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{B}}(5 - t_{\mathrm{у}2})$, откъдето $v_{\mathrm{B}} = \frac{5}{5} = 1,0$ m/s. [1,5 т.]

Ако извадим (4) от (3), получаваме $8 - 2 = x_{\mathrm{у}2} + v_{\mathrm{B}}(5 - t_{\mathrm{у}2}) - x_{\mathrm{у}2} - v_{\mathrm{A}}(5 - t_{\mathrm{у}2})$, след съкращения $6 = (v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}})(5 - t_{\mathrm{у}2})$, или $t_{\mathrm{у}2} = 5 - \frac{6}{v_{\mathrm{B}}-v_{\mathrm{A}}} = 5 - \frac{6}{1-(-1,8)} = \frac{20}{7} \approx 2,86$ s. [1 т.] След заместване в (2) $x_{\mathrm{у}2} = 3 + 1.\frac{20}{7} = \frac{41}{7} \approx 5,86$ m. [1 т.]