Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 10. клас — Задача 2. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Условие

Две едноименно заредени метални топчета са съединени с хоризонтална непроводяща пружина и се намират в равновесие. Когато топчетата са във въздух, разстоянието между тях е $l_1 = 18\ \mathrm{cm}$ , а когато са потопени в непроводяща течност, разстоянието между тях се променя на $l_2 = 16\ \mathrm{cm}$ . Влиянието на течността се дължи на поляризацията на нейните молекули, като върху всяко от потопените топчета се натрупва допълнителен индуциран заряд с противоположен знак. Затова в течността общият заряд $q^*$ върху всяко от топчетата е по-малък от заряда $q$ на топчетата във въздуха. Оказва се, че връзката между заряда $q^*$ на топчето в течността и $q$ във въздуха се дава с формулата:

q^* = \frac{q}{\sqrt{\varepsilon}},

където $\varepsilon$ е коефициент, който характеризира свойствата на течността и удовлетворява условието $\varepsilon > 1$ .

а) Изразете естествената (т.е. в недеформирано състояние) дължина на пружината $l_0$ чрез $l_1$ , $l_2$ и $\varepsilon$ . [5 т.]

б) Определете възможните стойности на $\varepsilon$ за описаната ситуация. [3 т.]

в) Намерете $l_0$ , ако данните в условието съответстват на възможната минимална целочислена стойност на $\varepsilon$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) В равновесие при едноименни заряди пружината е разтегната. [0,5 т.] Тя действа на всеки един от зарядите със сила, чиято големина във въздух е

F_1 = k_0(l_1 - l_0). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тази сила се уравновесява от електричната сила на отблъскване между зарядите

F_1' = k\,\frac{\left|q_1\right|\left|q_2\right|}{l_1^{2}}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

При потопяване в течността разтегнатата пружина действа на всеки един от зарядите със сила

F_2 = k_0(l_2 - l_0), \qquad \textbf{[0,5 т.]}

която уравновесява електричната сила

F_2' = k\,\frac{\left|q_1^*\right|\left|q_2^*\right|}{l_2^{2}} = k\,\frac{\left|q_1\right|\left|q_2\right|}{\varepsilon l_2^{2}}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От равенствата

F_1' = F_1, \qquad F_2' = F_2, \qquad \textbf{[1 т.]}

чрез почленно делене намираме

\frac{\varepsilon l_2^{2}}{l_1^{2}} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От това равенство можем да изразим $l_0$ , при което получаваме

l_0 = \frac{l_1^{3} - \varepsilon l_2^{3}}{l_1^{2} - \varepsilon l_2^{2}} = l_2\,\frac{\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{3} - \varepsilon}{\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{2} - \varepsilon}. \qquad \textbf{[1 т.]}

б) Естествената дължина на пружината удовлетворява неравенствата $0 < l_0 < l_2$ [0,5 т.]. Тогава от условието $l_0 > 0$ , имаме

1 < \varepsilon < \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{2} \approx 1{,}26, \qquad \varepsilon > \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{3} \approx 1{,}43, \qquad \textbf{[1 т.]}

докато от условието $l_0 < l_2$ следва

\varepsilon > \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{2} \approx 1{,}26. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава от удовлетворяването на двете неравенства $0 < l_0 < l_2$ , намираме

\varepsilon > \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{3} \approx 1{,}43. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) Минималната възможна целочислена стойност е $\varepsilon = 2{,}0$ [1 т.]. Следователно с точност до две значещи цифри определяме

l_0 = l_2\,\frac{\varepsilon - \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{3}}{\varepsilon - \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{2}} \approx 13\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: NOF2_2021_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_10solutions.pdf