Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Заредено махало в електростатично поле.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Условие

Метално топче с маса $m = 1\ \mathrm{g}$ , окачено на тънка нишка, се намира в хоризонтално еднородно електрично поле. Първоначално топчето е незаредено и махалото е в равновесното си положение $A$ (фиг. 1). Когато топчето се зареди с електричен заряд $q = 1\ \mu\mathrm{C}$ , равновесното положение $B$ на махалото се променя, като то се отклонява на ъгъл $\alpha = 30^{\mathrm{o}}$ .

Махало, окачено на таван: нишка с дължина $l$ в отвесното положение A с топче с маса $m$ и отклонена на ъгъл $\alpha$ в положение B с топче с маса $m$ и заряд $q$; хоризонтална стрелка означава интензитета $E$ на полето. — Фиг. 1.

Приемете земното ускорение $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Означете всички сили, които действат на зареденото металното топче в равновесните положения $A$ и $B$ на махалото. [1,25 т.]

б) Намерете интензитета $E$ на електричното поле. [3,25 т.]

в) Определете относителното изменение на периода на хармоничното трептене на махалото $\left|\Delta T\right|/T_0$ , където $\Delta T = T - T_0$ . Тук $T_0$ е периодът на незареденото махало, а $T$ – на зареденото. [5,5 т.]

Отговори

Решение

а) В равновесното положения $A$ на топчето действат две сили – силата на тежестта $G$ и реакцията на нишката $R_0$ [0,5 т.] (фиг. 1, а), а в равновесното положение $B$ – силата на тежестта $G$ , електричната сила $F_0$ и реакцията на нишката $R$ [0,75 т.] (фиг. 1, б).

Вляво (фиг. 1, а): отвесно окачено топче със сила на тежестта $G$ надолу и реакция $R_0$ нагоре. Вдясно (фиг. 1, б): нишка, отклонена на ъгъл $\alpha$ от отвеса, реакция $R$ по нишката нагоре, електрична сила $F_0$ хоризонтално и сила на тежестта $G$ надолу. — Фиг. 1, а и Фиг. 1, б — силите, действащи на топчето в равновесните положения $A$ и $B$ .

б) Равнодействащата сила $F$ на $G$ и $F_0$ , която уравновесява реакцията на нишката $R$ , е хипотенуза в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл $\alpha$ и катети $G$ и $F_0$ [0,5 т.]. Тогава имаме

\mathrm{tg}\alpha = \frac{F_0}{G}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тъй като са в сила изразите

F_0 = qE, \qquad G = mg, \qquad \mathrm{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \textbf{[1,25 т.]}

намираме

E = \frac{mg}{\sqrt{3}q} \approx 5{,}8\cdot 10^{3}\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} = 5{,}8\cdot 10^{3}\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) Периодът на незареденото махало е

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

За да намерим периода $T$ на зареденото махало, ще определим силата $F$ :

F = \sqrt{G^2 + F_0^{\,2}} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Тя може да се запише във вида

F = mg\sqrt{1+\left(\frac{qE}{mg}\right)^{2}} = mg', \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където

g' = g\sqrt{1+\left(\frac{qE}{mg}\right)^{2}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Тогава по аналогия с периода на махалото при $E = 0$ , имаме

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}} = \frac{T_0}{\left[1+\left(\frac{qE}{mg}\right)^{2}\right]^{1/4}}, \qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето следва

\frac{\left|\Delta T\right|}{T_0} = 1 - \frac{1}{\left[1+\left(\frac{qE}{mg}\right)^{2}\right]^{1/4}} \approx 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{1/4} \approx 0{,}07. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

Оригинал в Архива: NOF2_2021_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_10solutions.pdf