Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 11. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 11. клас (пета състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Решения и указания за оценяване

Дадените решения са примерни. Допустими са всички други обосновани решения.
При алтернативни решения комисията съставя свои критерии за оценяване, като се съобразява с максималния брой точки по всяко подусловие.
Числените отговори се приемат за верни само ако съответните стойности са представени с подходящите мерни единици.

Условие

Две дървени трупчета, с маси $m_1$ и $m_2$ , са свързани с нишка (Фиг. 1). Трупчето с маса $m_2$ се намира върху хоризонтална поставка, а нишката преминава през безтегловна макара. Коефициентът на триене между $m_2$ и поставката е $k$ . В началото системата се намира в покой.

Фиг. 1. Трупчета, хоризонтална равнина и макара.

А) Намерете ускоренията на трупчетата $a_1$ , $a_2$ и силите на опън $T_1$ и $T_2$ , действащи в двата края на нишката. [2 т.]

Б) Определете големината и посоката на силата F, с която нишката действа върху макарата. [2 т.]

В) Намерете ускоренията на трупчетата $a_1$ и $a_2$ , силите на опън $T_1$ и $T_2$ , действащи в двата края на нишката, ако равнината сключва ъгъл α с хоризонта (Фиг. 2). Приемете, че трупчето с маса $m_1$ се спуска надолу.

Фиг. 2. Трупчето върху наклонена равнина.

[2 т.]

Г) При какво отношение между масите $m_1/m_2$ = ? трупчетата ще се движат равномерно? [2 т.]

Д) Какво ще бъде ускорението a в подусловие А), ако макарата се приеме за диск с радиус R и маса $M$ . Инерчен момент на въртящ се около оста си диск е $I = \frac{1}{2}MR^2$ . Нишката не приплъзва по макарата. [2 т.]

Решение

Прилагаме закона на Нютон за двете тела:

А) [Максимум 2 точки]

За $m_1$ : $G_1 - T = m_1 a_1$

За $m_2$ : $T - f = m_2 a_2$ (по хоризонтална ос)

$N - G_2 = 0$ (по вертикална ос)

За правилно написана система уравнения (1 т.)

Ускоренията на телата са равни, защото нишката е неразтеглива ( $a_1 = a_2 = a$ ).

Отбелязаните сили на опън са равни ( $T_1 = T_2 = T$ ), защото макарата е безтегловна.

След като отчетем, че $f = kN$ решаваме системата уравнения и се получава:

a = \frac{m_1 - k m_2}{m_1 + m_2}\,g

T = \frac{m_1 m_2 (1 + k)}{m_1 + m_2}\,g

За достигане до правилен отговор (1 т.)

Б) [Максимум 2 точки] векторната сума на двете сили $T$ (виж чертежа) ще действат на макарата. Понеже силите са равни и сключват прав ъгъл, то търсената сила F ще бъде насочена под ъгъл $\alpha = 45^{\circ}$ (виж чертежа). След прилагане на питагорова теорема се получава големината на силата F:

F = T\cdot\sqrt{2} = \frac{m_1 m_2 (1 + k)}{m_1 + m_2}\,g\sqrt{2}

За достигане на верен отговор (1 т.)

В) [Максимум 2 точки] след прилагане на втори закон на Нютон за двете тела (аналогично на подусловия А)) и отчитане, че двете сили на опън $T_1 = T_2 = T$ и $a_1 = a_2 = a$ :

За $m_1$ : $m_1 g - T = m_1 a$

За $m_2$ : $T - m_2 g\sin\alpha - k m_2 g\cos\alpha = m_2 a$

За вярна система уравнения (1 т.)

След решаване на системата уравнения се получават търсените отговори:

a = \frac{m_1 - m_2(\sin\alpha - k\cos\alpha)}{m_1 + m_2}\,g

T = \frac{m_1 m_2 (1 + \sin\alpha + k\cos\alpha)}{m_1 + m_2}\,g

За верен отговор (1 т.)

Г) [Максимум 2 точки] За да се движат равномерно е необходимо ускорението $a = 0$ …(1 т.)

a = \frac{m_1 - m_2(\sin\alpha - k\cos\alpha)}{m_1 + m_2}\,g = 0

m_1 - m_2(\sin\alpha - k\cos\alpha) = 0

\frac{m_1}{m_2} = \sin\alpha - k\cos\alpha

За верен отговор (1 т.)

Д) [Максимум 2 точки] Ускоренията на телата ще са равни, т.е. $a_1 = a_2 = a$ , но $T_1 \neq T_2$ .

За $m_1$ : $m_1 g - T_1 = m_1 a$

За $m_2$ : $T_2 - k m_2 g = m_2 a$

За макарата: $(T_1 - T_2)R = \frac{1}{2}MR^2\cdot\frac{a}{R}$

За вярна система уравнения (1 т.)

В последното уравнение сме отчели връзката между въртящия момент, инерчния момент и ъгловото ускорение, т.е. $M = I\cdot\varepsilon$ . При липса на хлъзгане ъгловото ускорение $\varepsilon = a/R$ .

След решаване на системата уравнения се получава и търсеният отговор:

a = \frac{(m_1 - k m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{M}{2}}

За верен отговор (1 т.)

Оригинал в Архива: NOF2_2021_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_11solutions.pdf