НОФ 2021, II кръг (областен), 12. клас — Задача 2. Оптика на атмосферата.

а) Тъй като показателят на пречупване на вакуума е точно 1 (по определение), а показателят на пречупване на въздуха близо до земната повърхност е $n_0 = 1{,}000273$, то при навлизане на слънчев лъч в атмосферата, заради пречупването ъгълът на пречупване (мерен спрямо вертикалата) постоянно ще намалява. Това ще доведе до криволинейна траектория на лъча. Тъй като човешкото око проектира образа по направление на пристигащия лъч, Слънцето ще се наблюдава малко по-високо (спрямо хоризонта), отколкото е в действителност, т.е. ще се наблюдава и за кратко след като всъщност вече е под хоризонта. Тъй като това ще доведе до по-ранен изгрев и по-късен залез, продължителността на деня ще нарасне. [2 т.]

Примерна картинка: [2 т.]

б) Нека атмосферата е съставена от $N$ слоя с показатели на пречупване $n_i$. На границата на два съседни слоя от законите на Снелиус следва $\frac{\sin\alpha_k}{\sin\alpha_{k+1}} = \frac{n_{k+1}}{n_k}$. Тъй като това ще е вярно за всеки два съседни слоя, то за всички слоеве $\sin\alpha_i\,.\,n_i = const$. Нека светлинен лъч идва от открития космос, хлъзгайки се (т.е. ъгълът на падане е $90^\circ$). Той ще достигне земната повърхност под ъгъл на падане $\beta$. Следователно източникът на този лъч ще се наблюдава повдигнат спрямо хоризонта на ъгъл $90^\circ - \beta$. Тъй като $\sin 90^\circ.\,1 = \sin\beta.\,n_0$, то $\sin\beta = \frac{1}{n_0}$, $\sin\beta = \frac{1}{1{,}000273}$, $\beta \approx 88{,}66^\circ$. Следователно удължаването на деня е $\Delta t = \frac{2(90^\circ-\beta)}{360^\circ}.24.60\ \text{мин} \approx 10{,}7\ \text{мин}$. [3 т.]

в) Нека светлинен лъч пристига на земната повърхност хоризонтално. Тогава той се е пречупил на „границата“ на земната атмосфера на височина $h$ под ъгъл $\beta$. От образувания правоъгълен триъгълник с катет $R$ и хипотенуза $R + h$ следва, че $\sin\beta = \frac{R}{R+h}$. Тогава той е пристигнал до тази граница с ъгъл на падане $\alpha$, такъв че $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n_0$. Източникът на този лъч ще е повдигнат на ъгъл $\varphi = \alpha - \beta$. Изчислявайки техните стойности $\beta \approx 87{,}137^\circ$, $\alpha = 87{,}469^\circ$, $\varphi = 0{,}332^\circ$, $\Delta t = \frac{2\varphi}{360^\circ}.24.60\ \text{мин} \approx 2{,}66\ \text{мин}$. [3 т.]