Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 12. клас — Задача 3. Еластичен удар. (две независими подзадачи)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 12. клас (шеста състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Материална точка с маса $m_1$ се движи със скорост $v_1$ по хоризонтална повърхност без триене. Удря се идеално еластично в материална точка с маса $m_2$ , намираща се в покой (тя също може да се движи без триене по повърхността). След удара скоростите $u_1$ и $u_2$ на двете точки са успоредни на скоростта $v_1$ .

а) Получете формули за скоростите $u_1$ и $u_2$ , изразени чрез масите $m_1$ и $m_2$ и скоростта $v_1$ . [3,5 т.]

б) Получете формули за скоростите $u_1$ и $u_2$ в три частни случая: $m_1 \gg m_2$ , $m_1 = m_2$ и $m_1 \ll m_2$ . [1,5 т.]

Част 2.

Две материални точки с маси $M$ и $m$ се намират в покой (много близо една над друга) на височина $h$ от хоризонтална повърхност (точката с маса $M$ е отдолу и $M > m$ ). Земното ускорение е $g$ . Започват да падат едновременно. При достигането на повърхността първо точката с маса $M$ се удря в нея и отскача идеално еластично. След това двете точки се удрят помежду си също идеално еластично.

в) Получете формули за скоростите $u_M$ и $u_m$ на двете точки след удара между тях. [3 т.]

г) Получете формула за височината $H$ , на която ще се издигне топчето с маса $m$ . [1 т.]

д) Получете формула за височината $H$ , на която ще се издигне топчето с маса $m$ , в случая $M \gg m$ [1 т.]

Решение

Част 1.

а) От закона за запазване на импулса следва, че $m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$ . (1) [0.5 т.] При идеално еластичен удар механичната енергия се запазва: $\frac{m_1v_1{}^2}{2} = \frac{m_1u_1{}^2}{2} + \frac{m_2u_2{}^2}{2}$ . (2) [0.5 т.] След изразяване на $u_1$ от (1) $u_1 = v_1 - \frac{m_2}{m_1}u_2$ (3) и заместване в (2) се получава $m_1v_1{}^2 = m_1\left(v_1 - \frac{m_2}{m_1}u_2\right)^2 + m_2u_2{}^2$ . (4) [0.5 т.] След опростяването на (4), $u_2 = \frac{2m_1v_1}{m_1+m_2}$ . (5) [1 т.] След заместване в (3) $u_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$ . (6) [1 т.]

б) При $m_1 \gg m_2$ , $u_1 \approx v_1$ [0.25 т.] $u_2 \approx 2v_1$ [0.25 т.]. При $m_1 = m_2$ , $u_1 = 0$ [0.25 т.] $u_2 = v_1$ [0.25 т.]. При $m_1 \ll m_2$ , $u_1 \approx -v_1$ [0.25 т.] $u_2 \approx 0$ [0.25 т.].

Част 2.

в) Нека тялото с маса $M$ се удря със скорост $v$ в повърхността. При идеално еластичен удар то отскача със същата скорост нагоре. Така двете тела се удрят помежду си с еднаква по големина скорост $v$ (защото падат от една и съща височина), но с противоположни посоки. [0.5 т.] От закона за запазване на импулса следва, че $Mv - mv = Mu_M + mu_m$ (7) (за положителна посока е избрана посоката нагоре). [0.5 т.] При идеално еластичен удар механичната енергия се запазва: $\frac{Mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{Mu_M{}^2}{2} + \frac{mu_m{}^2}{2}$ . (8) [0.5 т.] Чрез директно заместване на едната неизвестна скорост от (7) в (8) се получава сравнително голям за рационализиране израз. В случая по-лесно може да се намерят неизвестните скорости, ако се използва симетрията на уравненията. (7) може да се представи във вида $M(v - u_M) = m(v + u_m)$ (9). (8) може да се представи във вида $M(v - u_M)(v + u_M) = m(v + u_m)(-v + u_m)$ (10). Замествайки (9) в (10), $u_m = 2v + u_M$ (11). Замествайки (11) в (9), $u_M = \frac{M-3m}{M+m}v$ (12). [0.75 т.] Замествайки (12) в (11), $u_m = \frac{3M-m}{M+m}v$ (13). [0.75 т.]

г) От закона за запазване на механичната енергия следва, че при падане на тяло от височина $h$ , $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ (14), където $v$ е скоростта на достигане на повърхността. От (14) $v = \sqrt{2gh}$ (15). Следователно височината $H$ , на която ще се издигне топчето с масата $m$ , е $H = \frac{u_m^2}{2g} = \left(\frac{3M-m}{M+m}\right)^2\frac{v^2}{2g} = \left(\frac{3M-m}{M+m}\right)^2 h$ (16). [1 т.]

д) В случая $M \gg m$ , от (16) се получава $H \approx 9h$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2021_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_12solutions.pdf