Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 10. клас — Задача 3. Отражения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за IV състезателна група (10. клас) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

а) Плоскопаралелна пластинка има дебелина $h$ и е направена от вещество с показател на пречупване $n$ . Около нея има въздух с показател на пречупване 1. Светлинен лъч влиза в нея почти под прав ъгъл (т.е. хлъзгайки се към повърхността ѝ). Пречупеният лъч започва да се отразява последователно от двете ѝ стени. Намерете разстоянието $2x$ между най-близките 2 отражения от една и съща стена на пластинката. [2,5 т.]

б) Клин, чиито стени сключват много малък ъгъл $\alpha$ , е направен от вещество с показател на пречупване $n$ . Светлинен лъч пада върху него перпендикулярно на едната му стена (предната), навлиза в клина и започва да се отразява последователно от двете му стени. В мястото на навлизане клинът има дебелина $h$ . Приемете, че тъй като ъгълът $\alpha$ е много малък, дебелината на клина почти не се променя в зоната на отраженията на лъча. Намерете разстоянието $y_{k,k+1}$ между точките на $k$ -тото и $k + 1$ -вото отражение от предната стена. (приема се, че и $k\alpha \ll 1$ ) [2,5 т.]

в) Нека върху клина, описан в подусловие б) пада светлинен лъч по начина, описан в подусловие а). Ъгълът на падане на лъча към предната стена е почти прав (т.е. лъчът се „хлъзга“ към повърхността), като лъчът е успореден на ръба на клина (правата, в която се пресичат стените на клина), както е показано на фиг. 4. С $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ са отбелязани точките на отражение от предната стена, а с $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ – точките на отражение от задната стена. Ако се използва интензивен лазерен лъч, поради разсейване на светлината във веществото, като гледаме перпендикулярно на предната стена, „траекторията“ на светлинния лъч изглежда като начупена линия. Тя съдържа отсечки с равна дължина, като две съседни отсечки сключват (почти) един и същ ъгъл $\varphi$ помежду си. Получете формула за $\varphi$ , изразен чрез $\alpha$ и $n$ . [2,5 т.]

г) Ако осветяваме тънка вертикална сапунена ципа с хоризонтален лазерен лъч, влизащ в нея почти под прав ъгъл (т.е. хлъзгайки се към повърхността ѝ), ще забележим, че „траекторията“ на лъча вътре в ципата прилича на дъга от окръжност (виж фигурата по-долу). Това се дължи на факта, че поради малката дебелина на ципата, местата на отраженията са разположени много гъсто и начупената линия от подусловие в) се вижда като дъга от окръжност. Освен това, тъй като ципата е течна, течността в нея бавно се стича надолу, което води до слабо нарастване на дебелината ѝ надолу. Моделирайки ципата като клина, описан в по-горните условия, получете формула за радиуса $r$ на окръжността – “траектория” на лазерния лъч. [2,5 т.]

Фиг. 4. Проекции на отраженията и радиусът r.

Полезна математика:

Основната единица за ъгъл в система SI е радиан (rad). Един радиан съответства на централен ъгъл, който отсича от окръжността дъга с дължина S, равна на радиуса R на окръжността.

Малък ще наричаме ъгъл $\alpha$ , който е много по-малък от един радиан ( $\alpha \ll 1\ \mathrm{rad}$ ). За малък ъгъл в правоъгълен триъгълник, прилежащият му катет е почти равен на хипотенузата, а срещулежащият му катет е много по-малък от хипотенузата. За малък ъгъл, мерен в радиани, може да се използват приближените математически формули $\sin\alpha \approx \mathrm{tg}\,\alpha \approx \alpha$ .

Един радиан и дъга с дължина, равна на радиуса.

Решение

Отраженията в плоскопаралелна пластинка.

а) От закона на Снелиус (виж чертежа вдясно) следва $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{n}{1}$ . [0.5 т.] Тъй като $\alpha$ е почти прав ъгъл, то $\sin\alpha \approx 1$ и тогава $\sin\beta \approx \dfrac{1}{n}$ . [0.5 т.] Тъй като $\dfrac{x}{h} = \tan\beta$ , [0.5 т.] то $2x = 2h\tan\beta = 2h\dfrac{\sin\beta}{\sqrt{1 - (\sin\beta)^2}} = \dfrac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}}$ . [1 т.]

б) От чертежа по-долу вляво се вижда, че ъгълът на отражение при първото отражение от задната стена ( $Z_1$ ) е $\alpha$ , ъгълът на отражение при първото отражение от предната стена ( $P_1$ ) е $2\alpha$ , ъгълът на отражение при второто отражение от задната стена ( $Z_2$ ) е $3\alpha$ , ъгълът на отражение при второто отражение от предната стена ( $P_2$ ) е $4\alpha$ и т.н. [1 т.] Съответно разстоянието между точките на първото и второто отражение от предната стена $y_{1,2} \approx 6\alpha h$ , разстоянието между точките на второто и третото отражение от предната стена $y_{2,3} \approx 10\alpha h$ , [1 т.] откъдето може да се съобрази, че разстоянието между точките на $k$ -тото и $k + 1$ -вото отражение от предната стена $y_{k,k+1} = (4k + 2)\alpha h$ . [0.5 т.]

в) При отражение от предната стена на клина, тъй като гледаме перпендикулярно на тази стена и тъй като отразеният лъч лежи в равнината, определена от падналия лъч и нормалата на предната стена, то проекциите върху предната стена на падналия и отразения лъч ще лежат на една права. [0.5 т.] Обаче при отражение от задната стена на клина, тъй като гледаме перпендикулярно на предната стена, а задната стена е наклонена спрямо предната, тъй като отразеният лъч лежи в равнината, определена от падналия лъч и нормалата на задната стена, съответно проекциите върху предната стена на падналия и отразения лъч от задната стена ще сключват търсения ъгъл $\varphi$ . [0.5 т.] Използвайки означенията от предните два чертежа и резултатите, получени в предните две подусловия, на чертежа по-долу вдясно е дадено как ще изглеждат проекциите на отразените лъчи върху предната стена. Наистина тези проекции са хорди в една окръжност, тъй като две съседни отсечки (хорди) имат равна дължина и сключват един и същ ъгъл. Тъй като $\varphi = \dfrac{4\alpha h}{2x}$ , [1 т.] замествайки с получения резултат в подусловие а), $\varphi = \dfrac{4\alpha h\sqrt{n^2-1}}{2h} = 2\alpha\sqrt{n^2 - 1}$ . [0.5 т.]

г) От чертежа по-долу вдясно се вижда, че $\dfrac{x}{r} = \dfrac{\varphi}{2}$ . [1 т.] Замествайки с получените резултати от подусловия а) и в) за радиуса на окръжността – „траектория на лазерния лъч“ се получава $r = \dfrac{2x}{\varphi} = \dfrac{\frac{2h}{\sqrt{n^2-1}}}{2\alpha\sqrt{n^2-1}} = \dfrac{h}{\alpha(n^2 - 1)}$ . [1.5 т.]

Проекциите на отраженията, хордите и радиусът.

Оригинал в Архива: NOF3_2021_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_10solutions.pdf