НОФ 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Удар между билиардни топки

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 9 май 2021 г. · 15 т.

Условие

Върху билиардна маса с рамери $a$ и b са разположени две билиардни топки с маси $\mathrm{m}_1$ и $\mathrm{m}_2$, както е показано на фиг. 1. Всяка от топките има радиус R. Разстоянието между центровете на топките, мерено по вертикалата е h, както е показано на фиг. 1, като $\mathrm{h} < 2\mathrm{R}$. Топката с маса $\mathrm{m}_1$ се движи хоризонтално със скорост $\vec{v}_1$ към неподвижната топка с маса $\mathrm{m}_2$. Ако считате топките за абсолютно твърди тела и взаимодействието между топките почти мигновено, намерете:

а) ъгъла $\alpha$ на отскачане на топката с маса $\mathrm{m}_2$ след удара спрямо хоризонталната линия (т.е. спрямо посоката на $\vec{v}_1$). Считайте, че силите на взаимодействие между топките са централни, т.е. по време на краткия удар силите, с които топките си взаимодействат сочат по линията, свързваща центровете им. [1 т.]

б) големините на скоростите на топките след удара $v_1'$ и $v_2'$ [3 т.]

в) ъгъла $\beta$ на отклонение на топката с маса $\mathrm{m}_1$ спрямо хоризонталната ос. Докажете, че ако $\mathrm{m}_1 = \mathrm{m}_2$, то $\alpha+\beta = \dfrac{\pi}{2}$ (всички ъгли да се изразят в радиани). [2 т.]

г) При какво отношение $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ топката с маса $\mathrm{m}_2$ ще се удари в горния ръб на билярдната маса и ще влезе в джоба (точка A), както е показано на фиг. 2. [2 т.]

д) Нека $\mathrm{m}_1 = \mathrm{m}$ и $\mathrm{m}_2 = \mathrm{m}\left(1-\varepsilon\right)$, като $0 < \varepsilon \ll 1$, т.е. двете топки са с различни, но почти равни маси. Тогава $\beta = \dfrac{\pi}{2}-\alpha+\Delta\beta$, където $\Delta\beta$ е малък ъгъл. Да се намери $\Delta\beta$, като се пренебрегнат събираеми от втора и по-висока степен на $\varepsilon$, т.е. , членовете пропорционални на $\varepsilon^2$, $\varepsilon^3$,... се приемат за нула.

Упътване: Използвайте приблизителните формули при $\mathrm{x} \ll 1$: $\cos \mathrm{x} \approx 1$, $\sin \mathrm{x} \approx \mathrm{x}$ (ако $\mathrm{x}$ е в радиани) и $\left(1-\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \approx 1-\mathrm{nx}$. [3 т.]

е) Нека сега h = 0 и топката с маса $\mathrm{m}_2$ се движи в противоположна посока на $\vec{v}_1$ със скорост с големина $v_2$. Да се намерят скоростите на топките след челен абсолютно еластичен удар. [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2021_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_11-12solutions.pdf