Съдържание

Условие Част 1. Да спасим бръмбарчето Бръм!Част 2. С каква течност е запълнен домът на Бръм?Решение

НОФ 2021, III кръг (национален), 7. клас — Задача 1. Да спасим бръмбарчето Бръм!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за 7. клас (първа състезателна група) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Част 1. Да спасим бръмбарчето Бръм!

Домът на бръмбарчето Бръм представлява картонена кутия с форма на паралелепипед (Фиг. 1). Поставени са две стъпала с ширина равни на тази на кутията $b = 20$ cm. Един ден завалява пороен дъжд, при което в домът на Бръм навлиза вода със скорост $Q = 0{,}5$ l/min (литра в минута).

Нивото на водата в кутията се повишава с времето, както е показано на Фиг. 2. Валежите спират, когато нивото на водата в дома на Бръм достигне горния ръб на второто стъпало. Като използвате данните от условието и Фиг. 2 определете:

Фиг. 2. Нивото H на водата спрямо времето t.

А) За колко време $t_1$ водата достига до горния ръб на първото стъпало. Обяснете. [0,5 т.]

Б) Намерете разстоянието $a$ от стената кутията до първото стъпало. [1,5 т.]

В) Височината $h_1$ и дължината $a_1$ на първото стъпало. [3 т.]

Когато валежът започва Бръмбарчето Бръм се намира на горния ръб на първото стъпало (вж Фиг. 1).

Г) С каква постоянна минимална скорост $v_{\min}$ трябва да пълзи Бръм по стъпалото (траекторията е показана с пунктир), така че да избегне прииждащата вода? [1,5 т.]

Част 2. С каква течност е запълнен домът на Бръм?

Първото стъпало от дома на Бръм е от материал, който се разтваря напълно след престой във вода от 6 минути. При това разтваряне нивото на водата в кутията не се променя.

А) Намерете масата на водата в кутията в петата минута. [1 т.]

Б) Намерете плътността на течността в седмата минута, когато стъпалото се е разтворило напълно. [2,5 т.]

Полезна информация: Плътността на водата е $\rho_\text{в} = 1000$ kg/m $^3$ , плътността на материала на стъпалото $\rho_\text{ст} = 1200$ kg/m $^3$ .

Решение

Част 1.

А) Вижда се от графиката, че скоростта на покачване на нивото на водата от момента 2 min намалява. При условие, че валежът е с една и съща скорост, следва че в този момент нивото е стигнало второто тъпало и започва запълване на паралелепипед с по-голяма площ на основата.

Да се приемат всички описания на учениците, които показват правилни разсъждения.

t_1 = 2\ \mathrm{min}

(0,5 т)

Б) разстоянието $a$ може да се намери като използваме, че времето за напълване на обема $V_1$ от кутията до първото стъпало е равно на обема вода, навлязъл в кутията за време $t_1$ (0,5 т).

V_1 = a\,.\,h_1\,.\,b = Q\,.\,t_1 \qquad \textbf{(0,5 т)}

a = \frac{Q t_1}{h_1 b}

a = 0{,}83\ \mathrm{dm} = 8{,}3\ \mathrm{cm} \qquad \textbf{(0,5 т)}

В) височината на първото стъпало е $h_1 = 6$ cm $= 0{,}6$ dm. От графиката е видно, че в момента 2 min височината е 6 cm, т.е. напълва се обемът преди стъпалото (0,5 т).

Дължината на първото стъпало ще намерим като използваме обема вода необходим да запълни кутията до нивото от първото до второто стъпало. Този обем се запълва за време $5 - 2 = 3$ минути (0,5 т). Височината между първото и второто стъпало е $8 - 6 = 2$ cm $= 0{,}2$ dm (0,5 т). Виж графиката.

V_2 = (a + a_1)\,.\,h_2\,.\,b = Q\,.\,(5 - 2) \qquad \textbf{(1 т)}

a_1 = \frac{3Q}{h_2 b} - a

a_1 = 2{,}92\ \mathrm{dm} = 29{,}2\ \mathrm{cm} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Г) За да се спаси Бръм трябва измине хоризонталната част на първото стъпало докато водата не достигне горния му ръб.

v_{min} = \frac{a_1}{t_1} \qquad \textbf{(0,5 т)}

v_{min} = \frac{29{,}2\ cm}{2\ min} = 14{,}6\ cm/min \qquad \textbf{(0,5 т)}

Няма смисъл да се разглежда движението по вертикалната част на второто стъпало, защото нивото на водата след $t_1 = 2$ min се покачва по-бавно, а Бръм поддържа същата скорост (0,5 т).

Част 2.

А) обемът на водата в кутията е $V = Q\,.\,t = 0{,}5$ l/min $\,.\,5$ min $= 2{,}5$ l (0,5 т)

От друга страна за водата е вярно, че вода с обем 2,5 l има маса 2,5 kg (0,5 т).

Б) след разтварянетото имаме една течност-смес от вода и веществото от стъпалото с плътност $\rho_0$ . След разтарянето течността заема обем на паралелепипед $(a_1 + a).h.b$ . Няма промяна във височината на стълба течност – до ръба на второто стъпало (по усл). Точно тази плътност трябва да се намери (0,5 т).

\rho_0 = \frac{m_\text{вода} + m_\text{стъпало}}{V}

\rho_0 = \frac{m_\text{вода} + \rho_\text{ст}\,.\,V_\text{стъпало}}{(a_1 + a).h.b} \qquad \textbf{(1 т)}

\rho_0 = \frac{m_\text{вода} + \rho_\text{ст}\,.\,a_1 h_1 b}{(a_1 + a).h.b} = 1{,}12\ kg/m^3 \qquad \textbf{(1 т)}

Да се приемат всички решения, които след верни разсъждения водят до верен резултат!

Оригинал в Архива: NOF3_2021_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_7solutions.pdf