Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Статика на флуиди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Част А. Плътно кълбо, потопено до половината във вода, натиска върху дъното на съда със сила $f$ , равна на една трета от действащата на кълбото сила на тежестта.

Част А. а) Направете чертеж и означете всички сили, действащи на кълбото. [1,5 т.]

Част А. б) Намерете плътността $\rho$ на материала, от който е направено кълбото.

Плътноста на водата е $\rho_0 = 1,0\ \mathrm{g/cm^3}$ . [2,5 т.]

Част Б. В U-образна тръба с допиращи се тънки вътрешни стени се намират в равновесие две несмесващи се течности, съответно с плътности $\rho_1$ и $\rho_2$ , като $\rho_1 < \rho_2$ . Разделителната граница между двете течности е в средата в долната част на тръбата (фиг. 3).

Съд с тънка вътрешна преграда: вляво течност с плътност ро едно, вдясно течност с плътност ро две, с означена височина h нула от дъното. — Фиг. 3. U-образната тръба с двете несмесващи се течности с плътности $\rho_1$ и $\rho_2$ ; отворът е на височина $h_0$ от дъното.

На височина $h_0$ от дъното на съда във вътрешната стена се появява малък отвор, през който започва протичане на течност от едната половина на съда в другата, като се наблюдава само разкъсване на стълба течност в мястото на отвора.

Част Б. а) Направете чертеж на разположението на течностите в двете колена при новото им равновесие. [3 т.]

Част Б. б) Намерете промяната $x$ на нивото на течностите както в лявото, така и в дясаното коляно. [3 т.]

Отговори

Решение

Част А. а) На кълбото действат три сили – силата на тежестта $G = mg$ (вертикално надолу), архимедовата сила $F_A = \rho_0Vg/2$ и реакцията на опората $R$ (вертикално нагоре). На фиг. 2 са показани действащите сили. [1,5 т.]

Кълбо, потопено до половината във вода, с вектори на силата на тежестта G надолу и архимедовата сила F_A и реакцията R нагоре. — Фиг. 2 (решение). Силите, действащи на кълбото, потопено до половината: $G$ , $F_A$ и $R$ .

б) Тъй като кълбото е неподвижно, резултантната сила е равна на нула, т. е.

R + F_A - G = 0.

[0,5 т.]

Като отчетем, че масата на кълбото е $m = \rho V$ [0,25 т.] и силата на реакция $R = N = mg/3$ [0,5 т.] (от третия закон на Нютон), можем да заместим в горното равенство

\frac{1}{3}\rho Vg + \rho_0\frac{V}{2}g - \rho Vg = 0.

[0,25 т.]

След като съкратим на $Vg$ , намираме

\rho = \frac{3}{4}\rho_0 \approx 0{,}75\ \mathrm{g/cm^3}.

[1 т.]

Част Б. а) През отвора на височина $h_0$ течността от лявото коляно започва да преминава в дясното, защото на това ниво хидростатичното налягане в лявото коляно е по-голямо от това в дясното. [0,5 т.] Течността 1 разкъсва течността 2 в дясното коляно, като понижава нивото на долната част и повишава нивото на горната част (вж. фиг. 3). [0,5 т.] Тъй като при равновесие налягането на ниво $h_0$ е едно и също в двете колена, в долната част на колената течностите ще се разположат по един и същ начин. [1 т.] В лявото коляно ще навлиза течност 2, докато достигне нивото $h_0/2$ , като в дясното коляно течността 2 ще има същото ниво. По такъв начин нивото в дясното коляно ще се повиши с $x$ , с колкото нивото в лявото коляно ще се понижи. [1 т.]

Два чертежа на съда: вляво началното равновесие с височини H, h и h нула; вдясно новото равновесие с H минус x, h, x и h нула върху две. — Фиг. 3 (решение). Разположението на течностите преди протичането (вляво) и при новото равновесие (вдясно).

б) Ще означим дебелината на слоя течност 2 над отвора преди протичането с $h$ , а височината на стълба течност 1 в лявото коляно преди протичането с $H$ . От равенството на наляганията в долната част на тръбата имаме

(h + h_0)\rho_2 = H\rho_1,

[1 т.]

след като сме съкратили на $g$ . От друга страна, от равенството на хидростатичното налягане на нивото на отвора в двете колена след достигане на новото равновесие, намираме

h\rho_2 + x\rho_1 = (H - x - h_0)\rho_1.

[1 т.]

Като изразим от първото равенство

h = H\frac{\rho_1}{\rho_2} - h_0

и заместим във второто, определяме

x = \frac{h_0}{2}\left(\frac{\rho_2}{\rho_1} - 1\right).

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_8solutions.pdf