НОФ 2021, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Електрическа верига

• а) $R_\mathrm{AB} = \frac{5R}{13},\qquad I_1 = \frac{3U_\mathrm{AB}}{5R}$
• б) $R_\mathrm{AC} = \frac{8R}{13},\qquad I_2 = \frac{U_\mathrm{AC}}{4R}$

а) Електрическата верига може еквивалентно да се представи по начина показан на фигурата вляво. [1 т.] Еквивалентното съпротивление на резисторите, оградени от пунктирания правоъгълник, е $\frac{(2R)R}{2R+R} = \frac{2R}{3}$. [0,5 т.] Последователно на тях е свързан амперметърът и още един резистор. Съпротивлението, което ще се измери между точките A и B, е равно на $R_\mathrm{AB} = \frac{\frac{R}{2}\left(\frac{2R}{3}+R\right)}{\frac{R}{2}+\frac{2R}{3}+R} = \frac{5R}{13}$. [1 т.] Ако подадем напрежение $U_\mathrm{AB}$ между точките A и B, през амперметъра ще протече ток $I_1 = \frac{U_\mathrm{AB}}{\frac{5R}{3}} = \frac{3U_\mathrm{AB}}{5R}$. [1 т.]

б) Електрическата верига може също така да се представи, както е показано на фигурата вляво. [1,5 т.] В този случай еквивалентното съпротивление на резисторите, оградени от пунктирания правоъгълник, е $\frac{R\left(R+\frac{R}{2}\right)}{2R+\frac{R}{2}} = \frac{3R}{5}$. [1 т.] Съпротивлението между точките A и C е равно на $R_\mathrm{AC} = \frac{R\left(R+\frac{3R}{5}\right)}{2R+\frac{3R}{5}} = \frac{8R}{13}$. [1 т.] Ако подадем напрежение $U_\mathrm{AC}$ между точките A и C в тази верига, през горните пет резистора ще протече ток $I_\mathrm{г} = \frac{U_\mathrm{AC}}{\frac{8R}{5}} = \frac{5U_\mathrm{AC}}{8R}$. [1 т.] Напрежението върху оградената част от веригата ще бъде $U_\mathrm{огр} = U_\mathrm{AC} - I_\mathrm{г}R = \frac{3U_\mathrm{AC}}{8}$. [1 т.] Токът през амперметъра ще е $I_2 = \frac{U_\mathrm{огр}}{\frac{3R}{2}} = \frac{2U_\mathrm{огр}}{3R} = \frac{U_\mathrm{AC}}{4R}$. [1 т.]