НОФ 2022, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Електрическа верига с кондензатор

• а) $I_1 = 0$

• б) $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2}$

• в) $I = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}$

• г) $I_3 = \frac{U_C}{R_1} = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}$

• д) $\tau = R_1 C$

  Проверката на размерността дава $[R][C] = [t]$.

а) Веднага след момента на затварянето на ключа кондензаторът още не е започнал да се зарежда, следователно напрежението върху него е нула. [1 т.] Нула е и напрежението върху резистора $R_1$. Следователно токът $I_1 = 0$. [1 т.]

б) След като напрежението върху резистора $R_1$ е нула, то напрежението върху резистора $R_2$ ще бъде $\mathcal{E}$. [1 т.] Следователно токът $I_2$, течащ през резистора $R_2$ веднага след момента на затварянето на ключа, е $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2}$. [1 т.]

в) След като токът във веригата престане да се променя (когато кондензаторът престане да се зарежда повече), този ток ще е един и същ и през двата резистора. Тогава токът $I$, течащ през източника на напрежение, е $I = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}$. [2 т.]

г) Преди да се отвори ключът, кондензаторът ще е зареден до напрежение $U_C = R_1 I = \frac{R_1\mathcal{E}}{R_1+R_2}$. [0,5 т.] Когато ключът $K$ се отвори, напрежението върху резистора $R_1$ ще е колкото върху кондензатора [0,5 т.] и токът $I_3$, течащ през резистора $R_1$ веднага след момента на отварянето на ключа ще бъде $I_3 = \frac{U_C}{R_1} = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}$. [1 т.]

д) Тъй като намаляването на тока през резистора $R_1$ ще зависи само от съпротивлението $R_1$ на резистора и капацитета $C$ на кондензатора, то трябва да се провери коя комбинация от тези величини има размерност на време. Използвайки познати формули, може да проверим първо произведението им каква размерност има. $[R].[C] = \frac{[U]}{[I]}\cdot\frac{[Q]}{[U]} = \frac{[Q]}{[I]} = \frac{[Q]}{\frac{[Q]}{[t]}} = [t]$. [1 т.] Така проверихме че произведението има размерност на време и характерното време $\tau = R_1.C$. [1 т.]