Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 11. клас — Задача 3. Препятствие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за V състезателна група (11. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Гимнастичка пуска обръч с радиус R и маса m да се търкаля без да приплъзва по хоризонталния под на залата. Скоростта на центъра на обръча е $v_0$ . Обръчът достига заоблено препятствие с височина h, което в горната си част има форма на дъга от окръжност с радиус r, както е показано на фигурата. Обръчът преминава препятствието, без да се отдели от повърхността му и без да приплъзва (т.е. търкаляйки се).

Обръч върху хоризонтален под вляво и същият обръч върху върха на заоблено препятствие вдясно; означени са R, v₀, ω₀, v₁, h и r. — Обръчът с радиус R се търкаля със скорост на центъра $\vec{v}_0$ и ъглова скорост $\omega_0$ и преминава през препятствие с височина h и радиус на дъгата r със скорост $\vec{v}_1$ .

а) Колко е инерчният момент I на обръча спрямо ос, минаваща през центъра му и перпендикулярна на неговата равнина? [1 т.]

б) На колко е равна ъгловата скорост $\omega_0$ и кинетичната енергия $E_{\mathrm{к}0}$ на обръча, докато се търкаля по хоризонталния под? [4 т.]

в) Колко е скоростта $v_1$ на центъра на обръча, когато той минава през върха на препятствието (вж. фигурата)? [2 т.]

г) Определете максималната начална скорост $v_{0,\mathrm{max}}$ , при която обръчът може да премине препятствието, без да се отдели (т.е. без да подскочи) от повърхонсстта му. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като всички точки от обръча се намират на еднакво разстояние от оста му, инерчният момент на обръча е:

(1)\qquad I = m R^2

(1 т)

б) При търкаляне ъгловата скорост и скоростта на центъра на обръча са свързани с равенството $v = \omega r$ . Следователно:

(2)\qquad \omega_0 = \frac{v_0}{R}.

(1 т)

Кинетичната енергия на обръча е сума от енергията на постъпателно движение:

(3)\qquad E_{\text{пост}} = \frac{m v^2}{2}

(1 т)

и енергията на въртеливо движение спрямо ос, минаваща през центъра му:

(4)\qquad E_{\text{върт}} = \frac{I \omega^2}{2}.

(1 т)

Като вземем предвид връзката между скоростта на центъра и ъгловата скорост при търкаляне, намираме кинетичната енергия на обръча, докато се търкаля по хоризонталната повърхност:

(5)\qquad E_{\text{к}0} = \frac{m v_0^2}{2} + \frac{I \omega_0^2}{2} = \frac{m v_0^2}{2} + \frac{m R^2 (v_0/R)^2}{2} = m v_0^2.

(1 т)

в) Тъй като обръчът се търкаля през цялото време, следва, че кинетичната му енергия, когато достига върха на препятствието, е $E_{\text{к}1} = n v_1^2$ . Приемаме пода на залата за нулево ниво на потенциалната енергия. Тогава центърът на обръча се намира на височина R, докато се търкаля по пода, и на височина R+h, когато минава през върха на препятствието. От закона за запазване на енергията следва:

(6)\qquad m v_0^2 + m g R = m v_1^2 + m g (R + h),

(1 т)

откъдето изразяваме скоростта на центъра на обръча, когато минава през върха на препятствието:

(7)\qquad v_1 = \sqrt{v_0^2 - g h}.

(1 т)

г) Когато обръчът минава през върха на препятствието, центърът му се движи по окръжност с радиус:

(8)\qquad R_1 = R + r

(0,5 т)

и има центростремително ускорение с големина:

(9)\qquad a_{\text{c}} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v_0^2 - g h}{R + r}

(0,5 т)

и с посока вертикално надолу, както е показано на чертежа.

Чертеж към решението: обръч върху върха на препятствието с вектори v₁ и a_c и означения R+r и r. — Обръчът на върха на препятствието: скорост $\vec{v}_1$ и центростремително ускорение $\vec{a}_{\mathrm{c}}$ , насочено вертикално надолу; центърът се движи по окръжност с радиус $R+r$ .

На обръча действат две сили във вертикално направление – силата на тежестта $G = mg$ надолу и силата N на нормална реакция нагоре. От II принцип на механиката следва, че:

(10)\qquad m a_{\text{c}} = m g - N,

(0,5 т)

откъдето изразяваме силата на нормална реакция:

(11)\qquad N = m g - m a_{\text{c}} = m g - m \frac{v_0^2 - g h}{R + r} = m \frac{g(R + r + h) - v_0^2}{R + r}

(0,5 т)

Ако обръчът преминава препятствието, без да се отделя от повърхността му:

(12)\qquad N \geq 0

(0,5 т)

Следователно максималната скорост, при която обръчът няма да подскочи, е:

(13)\qquad v_{0,\max} = \sqrt{g(R + r + h)}.

(0,5 т)

Оригинал в Архива: NOF2_2022_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_11solutions.pdf