Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 11. клас — Задача 2. Удар с пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за V състезателна група (11. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Върху хоризонтална повърхност е поставено неподвижно трупче с маса $m_1 = 300\ \mathrm{g}$ , към което е закрепена хоризонтална пружина с коефициент на еластичност $k = 3{,}0.10^3\ \mathrm{N/m}$ , както е показано на фигурата. Масата на пружината е много по-малка от масата на трупчето. Към пружината се хлъзга друго трупче с маса $m_2 = 100\ \mathrm{g}$ , което се движи със скорост $v_0 = 5{,}0\ \mathrm{m/s}$ . Триенето между трупчетата и хоризонталната повърхност се пренебрегва.

Две трупчета върху хоризонтална повърхност; лявото се движи надясно към хоризонтална пружина, закрепена за дясното. — Трупчето $m_2$ се движи със скорост $\vec{v}_0$ към пружината, закрепена за неподвижното трупче $m_1$ .

а) Намерете максималната деформация (свиване) $\Delta\ell$ на пружината, след като трупчето 2 се удари в пружината. [6 т.]

б) Определете големините и посоките на скоростите $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ , с които се движат двете трупчета, след като трупчето 2 се отдели от пружината. [4 т.]

Отговори

Решение

а) След като трупчето 2 се допре до пружината, тя започва да се свива. Под действие на силата на еластичност трупчето 1 започва да се ускорява, а трупчето 2 – да се забавя. Пружината ще бъде максимално свита, когато скоростите на двете трупчета се изравнят, т.е. $\vec{v}_1 = \vec{v}_2 = \vec{v}$ . (1 т)

Тъй като силата на еластичност е вътрешна за системата, общият импулс на системата се запазва:

(1)\qquad m_2 \vec{v}_0 = (m_1 + m_2)\vec{v},

(1 т)

откъдето скоростта на трупчетата в момента на максимална деформация е:

(2)\qquad \vec{v} = \frac{m_2 \vec{v}_0}{m_1 + m_2}.

(1 т)

В момента на максимална деформация, пружината има потенциална енергия:

(3)\qquad W = \frac{k \Delta\ell^2}{2}.

(1 т)

Тъй като в системата не действат неконсервативни сили (триене, съпротивление), механичната ѝ енергия се запазва:

(4)\qquad \frac{m_2 v_0^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + \frac{k \Delta\ell^2}{2},

(1 т)

откъдето намираме максималната (по модул) деформация на пружината:

(5)\qquad \Delta\ell = v_0 \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} = 0{,}025\ \mathrm{m} = 2{,}5\ \mathrm{cm}.

(1 т)

б) Трупчето 2 се отделя от пружината в момента,, когато тя възстанови първоначалната си дължина. В този момент потенциалната енергия на пружината е нула. Следователно в този момент сумарната кинетична енергия на трупчетата е равна на кинетичната енергия на трупчето 2 преди удара:

(6)\qquad \frac{m_2 v_0^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}.

(1 т)

Избираме ос $X$ в посоката на началната скорост на трупчето 2. В тази подточка с $v_1$ и $v_2$ означаваме компонентите на скоростите на двете трупчета по оста $X$ , т.е. величини със знак, който зависи от посоката на движение на трупчетата. Тогава от закона за запазване на импулса получаваме:

(7)\qquad m_2 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2.

(1 т)

След като решим системата уравнения (6) и (7), получаваме:

(8)\qquad v_1 = \frac{2 m_2 v_0}{m_1 + m_2} = 2{,}5\ \mathrm{m/s}

(1 т)

(9)\qquad v_2 = \frac{(m_1 - m_2) v_0}{m_1 + m_2} = -2{,}5\ \mathrm{m/s}

(1 т)

Знакът минус на скоростта $v_2$ означава, че след удара второто трупче се движи в посока, противоположна на първоначалната му посока на движение.

Оригинал в Архива: NOF2_2022_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_11solutions.pdf