Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 12. клас — Задача 1. Топлинен двигател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за VI състезателна група (12. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Топлинен двигател работи по цикъл, състоящ се от следните процеси: 1–2 задава адиабатно разширение, в 2–3 се извършва изотермно свиване, като цикълът се затваря с изохорния процес 3–1. Работното вещество е един mol идеален газ.

За идеален газ моларните топлинни капацитети $C_P$ и $C_V$ удовлетворяват равенството

C_P - C_V = R.

а) Начертайте цикъла на $p,V$ – диаграма. [1,5 т.]

б) В кои състояния от цикъла се достигат максималната температура $T_{max}$ и минималната температура $T_{min}$ . [1,5 т.]

в) Двигател работи по цикъл със същите $T_{max}$ и $T_{min}$ и максимален КПД. Какви процеси включва цикълът? На колко е равен неговият КПД $\eta_0$ ? [2,5 т.]

г) Намерете КПД на двигателя, работещ по описания в условието цикъл, като функция на отношението $\alpha = T_{max}/T_{min}$ . [4 т.]

д) Пресметнете КПД на двигателя при $\alpha = T_{max}/T_{min} = 3$ . [0,5 т.]

Отговори

Решение

а) На $p,V$ – диаграмата (фиг. 1.1) е показан цикълът, по който работи топлинният двигател. (За всяка правилно начертана графика на процес по 0,5 т.) [1,5 т.]

p-V диаграма с точки 1, 2 и 3; адиабата от 1 до 2, изотерма от 2 до 3 и вертикална изохора от 3 до 1. — Фиг. 1.1 — цикълът 1–2–3–1 в координати $p$ – $V$ : 1→2 адиабатно разширение, 2→3 изотермно свиване, 3→1 изохорен процес.

б) Работното вещество има максимална температура $T_{max}$ в състояние 1. [0,5 т.] Всички състояния от изотермата 2–3 имат температура $T_{min}$ . [1 т.]

в) Максимален КПД има двигател, който работи по цикъл на Карно. Той включва изотермно разширение при $T = T_{max}$ [0,5 т.], адиабатно разширение [0,5 т.], изотермно свиване при $T = T_{min}$ [0,5 т.] и адиабатно свиване [0,5 т.]. Тогава КПД е

\eta_0 = 1 - \frac{T_{min}}{T_{max}}.

[0,5 т.]

г) По определение КПД на топлинен двигател е

\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1},

[0,5 т.]

където $Q_1$ е полученото от работното вещество количество топлина за един цикъл, а $Q_2$ е отдаденото от работното вещество количество топлина за един цикъл. Газът получава топлина при изохорния процес, като

Q_1 = C_V (T_{max} - T_{min}),

[0,5 т.]

а отдава топлина при изотермното свиване. Тъй като при изотермния процес имаме $\Delta U = 0$ [0,5 т.], от първия принцип на термодинамиката следва

Q_2 = -A_{\mathrm{газ}} = R T_{min} \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),

[0,5 т.]

където $V_1$ е минималният обем на газа, а $V_2$ – максималният. От адиабатния процес имаме

T_{max} V_1^{\gamma-1} = T_{min} V_2^{\gamma-1},

[0,5 т.]

откъдето следва

\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_{max}}{T_{min}}\right)^{1/(\gamma-1)}.

[0,5 т.]

Тогава за КПД получаваме

\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{R}{C_V(\gamma-1)}\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{T_{max}}{T_{min}}\right)}{\dfrac{T_{max}}{T_{min}} - 1} = 1 - \frac{\ln\alpha}{\alpha-1},

[0,5 т.]

тъй като

\frac{R}{C_V(\gamma-1)} = \frac{R}{C_V\left[\left(C_P/C_V\right)-1\right]} = \frac{R}{C_P - C_V} = 1.

[0,5 т.]

г) Числената стойност на КПД е

\eta = 1 - \frac{\ln\alpha}{\alpha-1} = 1 - \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0{,}45.

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2022_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_12solutions.pdf