Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 12. клас — Задача 3. Движение на изкуствен спътник на Земята

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за VI състезателна група (12. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Изкуствен спътник на Земята се движи по кръгова орбита, която лежи в екваториалната равнина.

а) Ако спътникът е изстрелян, така че по време на движението се намира над една и съща точка от Земята (геостационарен спътник), намерете отношението на радиуса $R$ на орбитата му към радиуса $R_0 \approx 6\,400\ \mathrm{km}$ на Земята, т. е. $R/R_0$ . Приемете земното ускорение $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ , а продължителността на денонощието е $T_0 = 24\ \mathrm{h}$ . [5 т.]

б) Ако спътникът се движи по кръгова орбита по посока на въртене на Земята, като периодично преминава над една и съща точка от екватора през две денонощия, на колко е равно отношението $R/R_0$ ? Разгледайте случаите $\omega > \omega_0$ и $\omega < \omega_0$ , където $\omega_0$ е ъгловата скорост на Земята. [5 т.]

Отговори

Решение

а) Нормалното ускорение на спътника е $a_n = \omega^2 R$ [0,25 т.], като $\omega = \omega_0 = 2\pi/T_0$ [0,5 т.]. Тук $T_0 = 24\ \mathrm{h}$ е времето за едно завъртане. [0,25 т.] Силата на гравитационното привличане на спътника от Земята играе роля на центростремителна сила, под действие на която спътникът с маса $m$ се движи равномерно по окръжност, т. е. имаме

(1)\qquad m\omega^2 R = G\frac{mM}{R^2},

[1 т.]

където $M$ е масата на Земята. Тя може да бъде изразена чрез земното ускорение $g$ и радиуса $R_0$ . Като приравним силата на тежестта на единица маса $g$ с гравитационната сила, която ѝ действа на повърхността на Земята $GM/R_0^2$ [0,25 т.], намираме

GM = gR_0^2.

[1 т.]

Тогава, като заместим в равенството (1), стигаме до израза

(2)\qquad \frac{R}{R_0} = \left(\frac{g}{\omega^2 R_0}\right)^{1/3}.

[1 т.]

Тъй като $\omega = \omega_0 = 2\pi/T_0$ , намираме

\frac{R}{R_0} = \left(\frac{gT_0^2}{4\pi^2 R_0}\right)^{1/3} \approx 6{,}6.

[1 т.]

б) Ще въведем относителната по големина ъглова скорост $\Delta\omega = |\omega - \omega_0|$ , която при $T = 2T_0$ удовлетворява равенството

\Delta\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{T_0}.

[1 т.]

Тогава от равенството $|\omega - \omega_0|T_0 = \pi$ , получаваме при $\omega > \omega_0$ , $\omega = 3\pi/T_0$ . [1 т.] Като използваме (2), намираме

\frac{R}{R_0} = \left(\frac{gT_0^2}{9\pi^2 R_0}\right)^{1/3} \approx 5{,}0.

[1 т.]

Аналогично при $\omega < \omega_0$ , $\omega = \pi/T_0$ . [1 т.] Тогава от (2) получаваме

\frac{R}{R_0} = \left(\frac{gT_0^2}{\pi^2 R_0}\right)^{1/3} \approx 10{,}5.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2022_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_12solutions.pdf