Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 7. клас — Задача 3. Пингвини и лед

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за VII клас (първа състезателна група) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Група пингвини се намират на брега на малък залив (т. $A$ от фигурата). Един по един пингвините започват да плуват от т. $A$ към т. $B$ с постоянна скорост $v$ . Към точка $B$ се движат парчета лед със скорост $v_{\mathrm{лед}} = 1$ m/s. Когато първият пингвин започва да плува към т. $B$ , най-близкото парче лед се намира в т. $C$ . Когато първия лед стигне в т. $B$ пингвините няма да могат да излязат от залива. Ако $AB = 150$ m и $CB = 100$ m и всеки пингвин тръгва време $t_{\mathrm{и}} = 10$ s след предния, да се определи:

Карта на залив: бряг с точка A долу, точка B на изхода и точка C вдясно, откъдето идват парчета лед. — Заливът с бряг, точките $A$ , $B$ и $C$ и парчетата лед, които се движат към т. $B$ .

3.1. Колко пингвина ще излязат от залива ако плуват със скорост $v = 9$ km/h ? (5 т.)

3.2. С каква минимална скорост $v_{\min}$ трябва да плуват пингвините, за да излязат всичките девет? (5 т.)

Отговори

Решение

Ледовете достигат от т. $C$ до т. $B$ за време $t_{\mathrm{лед}} = CB/v_{\mathrm{лед}}$ . Трябва да видим за това време колко пингвина ще стигнат от от т. $A$ до т. $B$ . Първият пингвин ще преплува разстоянието $AB$ за време $t_1 = AB/v$ , вторият пингвин е тръгнал след време $t_{\mathrm{и}}$ и ще бъде в т. $B$ в момента $t_2 = t_1 + t_{\mathrm{и}}$ , третият ще бъде в т. $B$ в момента $t_3 = t_1 + 2t_{\mathrm{и}}$ и т. н., може да обобщим, че $n$ -я пингвин ще излезе от залива в момента $t_n = t_1 + (n-1)t_{\mathrm{и}}$ . Така от $t_{\mathrm{лед}} = t_n$ получаваме:

CB/v_{\mathrm{лед}} = t_1 + (n-1)t_{\mathrm{и}}

CB/v_{\mathrm{лед}} = AB/v + (n-1)t_{\mathrm{и}} \qquad (1)

3.1. От уравнение (1) може да определим броя на преминалите пингвини:

n = 1 + \frac{1}{t_{\mathrm{и}}}\left(\frac{CB}{v_{\mathrm{лед}}} - \frac{AB}{v}\right) \qquad (2)

n = 1 + \frac{1}{10}\left(\frac{100}{1} - \frac{150}{2.5}\right)

n = 1 + \frac{1}{10}\left(100 - 60\right) = 5, \qquad (3)

където сме отчели, че скоростта на пингвините е $v = 9\ \mathrm{km/h} = 2.5\ \mathrm{m/s}$ .

3.2. От уравнение (1) може да определим минималната скорост, с която трябва да плуват пингвините, за да излязат всичките девет:

v = \frac{AB}{\frac{CB}{v_{\mathrm{лед}}} - (n-1)t_{\mathrm{и}}} \qquad (4)

v = \frac{150}{\frac{100}{1} - (9-1)10}\ \mathrm{m/s} = \frac{150}{20}\ \mathrm{m/s} = 7.5\ \mathrm{m/s} = 27\ \mathrm{km/h}. \qquad (5)

Критерии за оценяване:

Част	Критерий	Точки
3.	$t_{\mathrm{лед}} = CB/v_{\mathrm{лед}}$	0.5 т.
	$t_1 = AB/v$	0.5 т.
	$t_n = t_1 + (n-1)t_{\mathrm{и}}$	2 т.
	$t_{\mathrm{лед}} = t_n$ или $CB/v_{\mathrm{лед}} = AB/v + (n-1)t_{\mathrm{и}}$	2 т.
3.1.	$n = 1 + \frac{1}{t_{\mathrm{и}}}\left(\frac{CB}{v_{\mathrm{лед}}} - \frac{AB}{v}\right)$ *	2 т.
	$n = 5$ или 4	0.5 т.
3.2.	$v = \frac{AB}{\frac{CB}{v_{\mathrm{лед}}}-(n-1)t_{\mathrm{и}}}$ *	2 т.
	$v = 27\ \mathrm{km/h}$ или $v = 7.5\ \mathrm{m/s}$	0.5 т.

* Ако няма крайна формула, но е описано как се стига до верен краен резултат, отново се дават пълен брой точки - 2.

Оригинал в Архива: NOF2_2022_7problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_7solutions.pdf