Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Топлинна машина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национален кръг на олимпиадата по физика 2022 — тема за V състезателна група (11. и 12. клас), теоретичен етап · 1 април 2022 г. · 15 т.

Условие

Диаграма $P$–$V$: точка 1 при ($V_1$, $P_1$), изобара 1→2 до ($4V_1$, $P_1$), изохора 2→3 до ($4V_1$, $2P_1$), политропа 3→4 до ($2V_1$, $P_1/2$) и изотерма 4→1. — Фиг. 2 — работният цикъл 1–2–3–4–1 в координати $P$ – $V$ .

Задачата се състои от две независими части.

Част А.

Работното вещество на топлинна машина е един mol двуатомен идеален газ. Работният цикъл на машината е показан на фиг. 2. Той включва следните по вид процеси: 1–2 изобарен, 2–3 изохорен, 3–4 политропен*, 4–1 изотермен. За политропния процес с идеален газ е в сила съотношението $PV^{\mathrm n} = \mathrm{const}$ , където:

\mathrm n = \frac{C_P - C}{C_V - C}.

Тук $C$ е топлинният капацитет на газа при политропния процес, а $C_P$ и $C_V$ са топлинните капацитети съответно при изобарния и при изохорния процес.

*Пояснение. Политропен се нарича всеки процес с идеален газ, при който топлинният капацитет $C$ на газа е постоянен, т.е. $C = \mathrm{const}$ .

а) Пресметнете стойността на $C$ . [2,5 т.]

б) Докажете какъв по вид е работния цикъл – цикъл за работа на топлинен двигател или цикъл за работа на хладилна машина (топлинна помпа). [5,5 т.]

в) Определете, в зависимост от доказаното в пункт б), или възможния КПД $\eta$ на топлинния двигател или коефициентите на ефективност $\varphi$ на хладилника и $\psi$ на топлинната помпа. [2 т.]

Част Б. Оценете максималната работа $W_{\max}$ , която може да се получи, ако топлинен двигател използва като охладител айсберг с обем $V = 1\,\mathrm{km^3}$ и плътност $\rho = 0,9\,\mathrm{g/cm^3}$ , а като нагревател – водата в океана. Приемете, че специфичната топлина на топене на леда е $\lambda = 335\,\mathrm{kJ/kg}$ , температурата на айсберга е $0\,{}^\circ\mathrm{C}$ , а температурата на водата в океана е $20\,{}^\circ\mathrm{C}$ . [5 т.]

Отговори

Решение

Част А. а) От уравнението на политропния процес имаме $P_3V_3^{\mathrm n} = P_4V_4^{\mathrm n}$ . Като отчетем, че

P_3 = 2P_1,\quad V_3 = 4V_1,\quad P_4 = P_1/2,\quad V_4 = 2V_1, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

намираме

2^{\mathrm n + 2} = 1 \;\rightarrow\; \mathrm n = -2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава можем да запишем

C = \frac{C_P - \mathrm n C_V}{1 - \mathrm n} = \frac{17}{6}R, \qquad \textbf{[1 т.]}

при което са отчетени $C_V = \frac{5}{2}R$ и $C_P = \frac{7}{2}R$ . [0,5 т.]

б) За да определим вида на цикъла, ще пресметнем извършената от газа работа

W = Q_{\text{пол}} - Q_{\text{отд}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Газът получава топлина при изобарното разширение 1–2 и при изохорното нагряване 2 – 3, т. е. имаме

Q_{\text{пол}} = C_P(T_2 - T_1) + C_V(T_3 - T_2). \qquad \textbf{[1 т.]}

Като отчетем уравннието на състояние $PV = RT$ , намираме

RT_1 = P_1V_1,\quad RT_2 = 4P_1V_1,\quad RT_3 = 8P_1V_1,\quad RT_4 = P_1V_1, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето след заместване получаваме

Q_{\text{пол}} = \frac{41}{2}P_1V_1. \qquad \textbf{[1 т.]}

Аналогично намираме

Q_{\text{отд}} = \left|C(T_4 - T_3) + RT_1\ln\left(\frac{V_1}{2V_1}\right)\right| = \frac{119 + 6\ln 2}{6}P_1V_1. \qquad \textbf{[1 т.]}

Тогава, извършената от газа работа, е

W = \frac{4 - 6\ln 2}{6}P_1V_1 = -0{,}026P_1V_1. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Отрицателният знак на работата, извършена от газа, означава, че външен източник извършва работа върху газа, а не газът върху околната среда, т. е. $A = -W > 0$ . [0,5 т.] Следователно описаният цикъл е цикъл на хладилник (топлинна помпа).

в) По определение имаме

\varphi = \frac{Q_{\text{пол}}}{A} = \frac{123}{6\ln 2 - 4} \approx 774, \qquad \textbf{[1 т.]}

\psi = \frac{Q_{\text{отд}}}{A} = \frac{119 + 6\ln 2}{6\ln 2 - 4} \approx 775. \qquad \textbf{[1 т.]}

Част Б. При зададени температура $T_1$ на нагревателя и $T_2$ на охладителя максимална работа извършва идеален топлинен двигател с КПД

\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава извършената работа е

W_{\max} = \eta Q_1, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където $Q_1$ е полученото от работното вещество количество топлина. Тъй като за идеален двигател

\frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2} \;\rightarrow\; Q_1 = \frac{T_1}{T_2}Q_2 \qquad \textbf{[1 т.]}

или

W_{\max} = \left(\frac{T_1}{T_2} - 1\right)Q_2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Топлинният двигател ще работи, докато отдаденото от работното вещество количество топлина $Q_2$ не разтопи айсберга. За оценка ще изберем

Q_2 = \lambda\rho V,\quad T_1 = 293\ \mathrm K,\quad T_2 = 273\ \mathrm K, \qquad \textbf{[1 т.]}

при което получаваме

W_{\max} = \left(\frac{T_1}{T_2} - 1\right)\lambda\rho V \approx 2\cdot 10^{16}\ \mathrm J. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2022_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_11-12solutions.pdf