Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. „Воден” експеримент на Физо (Fizeau)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национален кръг на олимпиадата по физика 2022 — тема за V състезателна група (11. и 12. клас), теоретичен етап · 1 април 2022 г. · 15 т.

Условие

а) Използвайки дадените Лоренцови трансформации, получете релативисткия закон за събиране на скоростите.

Лоренцови трансформации:

x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}},\qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}},

където $(x, t)$ и $(x', t')$ са координатите на едно събитие в системите $K$ и $K'$ . $K'$ се движи спрямо $K$ със скорост $u$ в посока $x$ ( $x'$ ). Скоростите на движещо се тяло в двете системи бележете с $v$ и $v'$ . $c$ е скоростта на светлината във вакуум. [3 т.]

б) Получете приближена релативистка формула за събиране на скоростите, когато $u \ll c$ , но $v$ и $v'$ са релативистки скорости. [3 т.]

в) В средата на XIX век е проведен експеримент, проверяващ стойността на скоростта на светлината в движещи среди, изследвайки промяната на една интерферентна картина. Принципната схема на експеримента е дадена на фигурата. Сноп светлина от източник се разделя от полупрозрачното огледало BS. След това с помощта на огледало M двата снопа преминават по две еднакви тръби, по които тече вода със скорост $u$ . В горната тръба светлината се движи срещу течението на водата, а в долната – по течението на водата. След това с помощта на още едно огледало M и още едно полупрозрачно огледало BS двата снопа се събират отново. Образуваната интерферентна картина се наблюдава с око. Интерферентната картина представлява успоредни максимуми и минимуми с различна интензивност, като лесно се разпознава нулевият максимум (най-яркият) и неговото положение. Показателят на пречупване за неподвижна вода е $n$ . Получете ефективните показатели на пречупване $n_+$ и $n_-$ за светлината в движещата се вода в долната и горната тръба, изразени чрез $c, n$ и $u$ . [2 т.]

Схема: светлина от източник пада върху полупрозрачно огледало BS и се разделя на два снопа; чрез огледала M снопите преминават през горната и долната тръба с течаща вода в противоположни посоки и се събират отново на второ BS, където окото наблюдава интерферентна картина. — Принципната схема на опита на Физо: полупрозрачни огледала BS, огледала M и двете тръби с течаща вода.

г) Нека дължината на хоризонталните части на тръбата (там където минава светлината) е $l$ . Приемете, че опитът се прави с монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$ (това е дължината на вълната във вакуум). При каква скорост на водата в тръбите интерферентната картина ще се измести на $k$ максимума в сравнение със случая на неподвижна вода. [4 т.]

д) Какво ще бъде изместването на интерферентната картина, ако водата тече в обратна посока – картината ще се измести в същата посока или в противоположна посока? [1 т.]

е) Нека $l = 1,50$ m, $c = 3,00.10^{8}$ m/s, $\lambda = 500$ nm, $n = 1,333$ . Изчислете при каква скорост $u_1$ на водата интерферентната картина ще се измести с 1 максимум. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Нека последователните положения на едно тяло в двете системи са 1 и 2. Тогава

\Delta x' = x_2' - x_1' = \frac{x_2 - ut_2}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} - \frac{x_1 - ut_1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{\Delta x - u\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}.

Аналогично

\Delta t' = t_2' - t_1' = \frac{t_2 - \frac{ux_2}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} - \frac{t_1 - \frac{ux_1}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{\Delta t - \frac{u\Delta x}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}.

Разделяйки първото на второто равенство, се получава

v' = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x - u\Delta t}{\Delta t - \frac{u\Delta x}{c^2}} = \frac{v - u}{1 - \frac{uv}{c^2}}. \qquad (1)\qquad \textbf{[3 т.]}

б) Ако $u \ll c$ , то (1) може да се преобразува така:

v' = \frac{v - u}{1 - \frac{uv}{c^2}} \approx (v - u)\left(1 + \frac{uv}{c^2}\right) = v - u + \frac{uv^2}{c^2} - \frac{u^2v}{c^2} \approx v - u + \frac{uv^2}{c^2} = v - u\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right). \qquad \textbf{[3 т.]}

в)

n_+ = \frac{c}{v_+} = \frac{c}{v - u\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{1}{\frac{v}{c} - \frac{u}{c}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{n}{1 - \frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)},

n_- = \frac{c}{v_-} = \frac{c}{v + u\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{1}{\frac{v}{c} + \frac{u}{c}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{n}{1 + \frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)}. \qquad \textbf{[2 т.]}

г) Разликата в оптичните пътища на двата лъча е

\Delta L = n_+l - n_-l = \frac{nl}{1 - \frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)} - \frac{nl}{1 + \frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)} = \frac{nl\left[2\frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)\right]}{1 - \left[\frac{u}{c}\left(n - \frac{1}{n}\right)\right]^2} \approx \frac{2lu}{c}(n^2 - 1).

Интерферентната картина ще се измести на $k$ максимума в сравнение със случая на неподвижна вода, когато $\Delta L = k\lambda$ , следователно $\frac{2lu}{c}(n^2 - 1) = k\lambda$ , откъдето $u = \frac{k\lambda c}{2l(n^2 - 1)}$ . [4 т.]

д) Картината ще се измести в противоположна посока. [1 т.]

е)

u_1 = \frac{\lambda c}{2l(n^2 - 1)} = \frac{5{,}00.10^{-7}\ \mathrm{m}\cdot 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}}{2\cdot 1{,}50\ \mathrm{m}\cdot(1{,}333^2 - 1)} \approx 64\ \mathrm{m/s}.

(В историческия експеримент скоростта на водата е била по-малка и картината се е измествала на по-малко от един максимум). [2 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2022_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_11-12solutions.pdf