Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Електрическа верига

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Олимпиада по физика 2023, областен кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана част от електрическа верига. Резисторите са съответно със съпротивления $R_1 = 200\ \Omega$ , $R_2 = 500\ \Omega$ , $R_3 = 1000\ \Omega$ и $R_4 = 100\ \Omega$ . Максималната допустима мощност на всеки резистор е $P_0 = 5\ \mathrm{W}$ .

Част от верига: последователно свързаните $R_1$ и $R_2$ са успоредни на $R_3$, а тази група е последователно свързана с $R_4$; входящият ток е $I$. — Фиг. 1

а) Изразете токовете $I_1, I_2, I_3$ и $I_4$ през съответните резистори чрез тока $I$ . [4 т.]

б) На колко ампера е равен максималният ток $I$ във веригата, при който нито един от резисторите няма да се повреди? [3,5 т.]

в) Намерете общата мощност $P$ на резисторите във веригата в режима, описан в подусловие б). [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) Токовете удовлетворяват следните съотношения:

(1) $\quad I_1 = I_2$ (съпротивленията $R_1$ и $R_2$ са свързани последователно), [0,5 т.]

(2) $\quad I = I_1 + I_3$ (от закона за запазване на електричния заряд), [0,5 т.]

(3) $\quad I_4 = I_1 + I_3 = I$ . [0,5 т.]

От друга страна имаме

(4) $\quad I_3R_3 = I_1(R_1 + R_2)$ . [0,5 т.]

Като изразим $I_3$ от (4) и заместим в (3), намираме

I_1 = I_2 = \frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}\,I.

[1 т.]

Освен това получаваме

I_3 = \frac{R_1+R_2}{R_1+R_2+R_3}\,I.

[1 т.]

б) Мощността на всеки един от резисторите се дава с израза

P_i = I_i^2R_i \le P_0,

[0,5 т.]

при което максималният възможен ток през съответния резистор е

I_i = \sqrt{\frac{P_0}{R_i}}.

[0,5 т.]

Така получаваме следните възможни стойности на максималния ток $I$ :

I^{(1)} = \frac{R_1+R_2+R_3}{R_3}\sqrt{\frac{P_0}{R_1}} \approx 0{,}269\ \mathrm{A},

[0,5 т.]

I^{(2)} = \frac{R_1+R_2+R_3}{R_3}\sqrt{\frac{P_0}{R_2}} \approx 0{,}170\ \mathrm{A},

[0,5 т.]

I^{(3)} = \frac{R_1+R_2+R_3}{R_1+R_2}\sqrt{\frac{P_0}{R_3}} \approx 0{,}172\ \mathrm{A},

[0,5 т.]

I^{(4)} = \sqrt{\frac{P_0}{R_4}} \approx 0{,}224\ \mathrm{A}.

[0,5 т.]

Следователно нито един от резисторите няма да се повреди, ако максималният ток във веригата е $I = 0{,}170\ \mathrm{A}$ . [0,5 т.]

в) Общата мощност във веригата се дава с израза

P = I^2R,

[0,5 т.]

където $R$ е еквивалентното съпротивление. Така имаме

R' = R_1 + R_2,

[0,5 т.]

R'' = \frac{R'R_3}{R'+R_3} = \frac{(R_1+R_2)R_3}{R_1+R_2+R_3},

[0,5 т.]

R = R'' + R_4 = \frac{(R_1+R_2)R_3}{R_1+R_2+R_3} + R_4 \approx 512\ \Omega.

[0,5 т.]

Окончателно получаваме

P \approx 14{,}8\ \mathrm{W}.

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2023_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_10solutions.pdf