Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 10. клас — Задача 3. Движение в електрично поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Олимпиада по физика 2023, областен кръг, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

Електрон, изстрелян от източник, изминава с постоянна скорост разстояние $L$ , след което навлиза в еднородно електрично поле с интензитет $E$ , насочен по посока на движението.

Елементарният електричен заряд е $q_0$ , а масата на електрона е $m$ .

а) Получете израз за ускорението $a$ на електрона. [3 т.]

б) При каква скорост $v$ на изстрелване на електрона времето му на движение до неговото спиране ще е минимално и на колко е равно то? [7 т.]

Отговори

Решение

а) В електричното поле на електрона действа сила $F = q_0E$ в посока, противоположна на неговото движение. [1 т.] Тогава от втория принцип на механиката $ma = F$ [1 т.], изразяваме ускорението на електрона

a = \frac{q_0E}{m}.

[1 т.]

б) Общото време на движение на електрона до спирането му е $t = t_1 + t_2$ , където времето на движение с постоянна скорост е

t_1 = \frac{L}{v},

[1 т.]

докато времето за спиране на електрона при равнозакъснителното движение е

t_2 = \frac{v}{a},

[1 т.]

т.е. имаме

t = \frac{L}{v} + \frac{v}{a}.

[1 т.]

Първи начин. Този израз за $t$ може да се преобразува чрез отделяне на пълен квадрат:

t = \left(\sqrt{\frac{L}{v}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{v}{a}}\right)^2 - 2\sqrt{\frac{L}{v}}\times\sqrt{\frac{v}{a}} + 2\sqrt{\frac{L}{a}} = \left(\sqrt{\frac{L}{v}}-\sqrt{\frac{v}{a}}\right)^2 + 2\sqrt{\frac{L}{a}}.

[2 т.]

Тогава времето е минимално, когато изразът в скобите е равен на нула и

t_{\min} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} = 2\sqrt{\frac{mL}{q_0E}},

[1 т.]

а скоростта на излъчения електрон е

v_0 = \sqrt{La} = \sqrt{\frac{q_0EL}{m}}.

[1 т.]

Втори начин. Изразът за $t$ може да се препише като квадратно уравнение за $v$ :

v^2 - atv + aL = 0.

[1 т.]

Уравнението има реални решения, когато дискриминантата

D = a^2t^2 - 4aL \ge 0.

[0,5 т.]

Тъй като имаме

t \ge 2\sqrt{L/a},

[0,5 т.]

окончателно намираме

t_{\min} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} = 2\sqrt{\frac{mL}{q_0E}},

[1 т.]

v_0 = \sqrt{La} = \sqrt{\frac{q_0EL}{m}}.

[1 т.]

Трети начин. Диференцираме израза за $t$ по $v$ . Тогава имаме

t'(v) = -\frac{L}{v^2} + \frac{1}{a} = 0,

[2 т.]

откъдето следва

v_0 = \sqrt{La} = \sqrt{\frac{q_0EL}{m}},

[1 т.]

t_{\min} = \frac{L}{v_0} + \frac{v_0}{a} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} = 2\sqrt{\frac{mL}{q_0E}}.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2023_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_10solutions.pdf