Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 11. клас — Задача 2. Телескопът „Джеймс Уеб“

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Олимпиада по физика 2023, областен кръг, тема за 11. клас (пета състезателна група) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

Схема: голям кръг „Слънце“ вляво, свързан с права линия към малък кръг „Земя“ и още по-малка точка „телескоп“ вдясно; под линията стрелки означават отсечките $L$ и $x$. — Слънцето, Земята и телескопът лежат на една права; разстоянието Слънце–Земя е $L$ , а разстоянието Земя–телескоп е $x$ .

В прост модел може да се приеме, че телескопът „Джеймз Уеб“ се движи по такава кръгова орбита, че той винаги лежи на правата Слънце-Земя, като се намира по-далеч от Слънцето в сравнение със Земята, както е показано на фигурата. Приемете, че Земята се движи по кръгова орбита и периодът ѝ на обикаляне е $T = 365$ дни. Приемете, че масата на Слънцето $M$ е много по-голяма от масата на Земята $m$ , а масата на Земята $m$ е много по-голяма от масата на телескопа $\mu$ . Разстоянието Слънце–Земя се бележи с $L$ , а разстоянието Земя-телескоп се бележи с $x$ . Оказва се, че $x \ll L$ . Гравитационната константа е $G$ .

а) Получете формула за масата на Земята $m$ , изразена чрез $G$ , земното ускорение $g$ и радиуса на Земята $R$ . [2 т.]

б) Получете формула за $x$ (изразено чрез $G$ , $m$ , и $T$ ).

Използвайте приближението: ако $|y| \ll 1$ и $n$ е реално число, то $(1 + y)^n \approx 1 + ny$ . [4 т.]

в) Преобразувайте формулата за $x$ от предното подусловие, като сега изразите $x$ чрез периода $T$ , земното ускорение $g$ и радиуса на Земята $R$ . [2 т.]

г) Изчислете $x$ като приемете, че $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ , а $R = 6400\ \mathrm{km}$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като силата на тежестта е гравитационна сила, то $m_1 g = \dfrac{Gmm_1}{R^2}$ , ( $m_1$ е масата на тяло, намиращо се на повърхността на Земята) откъдето $m = \dfrac{gR^2}{G}$ . [2 т.]

б) Движението на Земята се описва с уравнението $\dfrac{GMm}{L^2} = m\omega^2 L$ . [0.5 т.] Движението на телескопа се описва с уравнението $\dfrac{GM\mu}{(L+x)^2} + \dfrac{Gm\mu}{x^2} = \mu\omega^2(L+x)$ . [0.5 т.] Съкращавайки на $m$ в първото уравнение и на $\mu$ във второто, след което изваждайки първото от второто уравнение, се получава $\dfrac{GM}{(L+x)^2} + \dfrac{Gm}{x^2} - \dfrac{GM}{L^2} = \omega^2 x$ . [0.5 т.] Лявата част на това уравнение може да се преобразува така: $\dfrac{GM}{(L+x)^2} + \dfrac{Gm}{x^2} - \dfrac{GM}{L^2} = \dfrac{GM}{L^2\left(1+\frac{x}{L}\right)^2} + \dfrac{Gm}{x^2} - \dfrac{GM}{L^2} \approx \dfrac{GM}{L^2}\left(1 - 2\dfrac{x}{L}\right) + \dfrac{Gm}{x^2} - \dfrac{GM}{L^2} = -\dfrac{2GMx}{L^3} + \dfrac{Gm}{x^2}$ . [0.5 т.] Замествайки в горното уравнение, $-\dfrac{2GMx}{L^3} + \dfrac{Gm}{x^2} = \omega^2 x$ , [0.5 т.] откъдето след преобразувания, $\dfrac{Gm}{x^2} = x\left(\dfrac{2GM}{L^3} + \omega^2\right)$ , [0.5 т.] $x = \sqrt[3]{\dfrac{Gm}{\frac{2GM}{L^3}+\omega^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{Gm}{3\omega^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{Gm}{3\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}}$ . [1 т.]

в) Тъй като земното ускорение е $g = \dfrac{Gm}{R^2}$ , то $x = \sqrt[3]{\dfrac{gR^2}{3\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}}$ , $x = \sqrt[3]{\dfrac{g}{12}\left(\dfrac{RT}{\pi}\right)^2}$ . [2 т.]

г) Замествайки с дадените стойности, $x \approx 1{,}50\cdot 10^{9}\ \mathrm{m} = 1{,}50\cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$ . [2 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2023_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_11solutions.pdf