НОФ 2023, II кръг (областен), 12. клас — Задача 3. Топлинен двигател

• а) $n = \frac{p_aV_a}{RT_a} = 4{,}0 . 10^{-2}\ \mathrm{mol}$

• б) $T_c = \frac{T_aV_c}{V_a} = 3T_a = 900\ \mathrm{K};\qquad T_b = T_c\left(\frac{V_c}{V_b}\right)^{2/3} = 900\ \mathrm{K} . 3^{2/3} \approx 1870\ \mathrm{K}$

• в) $A_\mathrm{дв} = Q_{ab} + Q_{bc} + Q_{ca} \approx 284\ \mathrm{J};\qquad \eta = \frac{A_\mathrm{дв}}{Q_{ab}} \approx 0{,}36$

  В оригинала третото събираемо е отпечатано като $Q_{bc}$ вместо $Q_{ca}$; численият отговор 284 J съответства на $783 + 0 - 499$.

а) От уравнението на Клапейрон-Менделеев за състоянието a имаме: $p_aV_a = nRT_a$, [1,0 т.] откъдето намираме: $n = \frac{p_aV_a}{RT_a} = \frac{1 . 10^{5}\ \mathrm{Pa} . 1 . 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{8{,}31\ \mathrm{J/(mol . K)} . 300\ \mathrm{K}} = 4{,}0 . 10^{-2}\ \mathrm{mol}$. [1,0 т.] (0,5 т. за буквен израз и 0,5 т. за числен отговор)

б) Удобно е първо да пресметнем температурата в състояние c. Тъй като процесът c-a е изобарен, е в сила уравнението: $\frac{T_c}{V_c} = \frac{T_a}{V_a}$, [1,0 т.] откъдето: $T_c = \frac{T_aV_c}{V_a} = 3T_a = 900\ \mathrm{K}$ [0,5 т.] За адиабатния процес b-c имаме: $T_bV_b^{\gamma-1} = T_cV_c^{\gamma-1}$, [1,0 т.] където: $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5}{3}$ [1,0 т.] е показателят на адиабатата на газа. Оттук намираме: $T_b = T_c\left(\frac{V_c}{V_b}\right)^{\frac{2}{3}} = 900\ \mathrm{K} . 3^{\frac{2}{3}} \approx 1870\ \mathrm{K}$. [1,0 т.] При пресмятанията използваме $3^{2/3} = \left(\sqrt[3]{3}\right)^2 \approx 2{,}08$.

в) През изохорния процес a-b газът обменя количество топлина: $Q_{ab} = nC_V(T_b - T_a) = \frac{3}{2}nR(T_b - T_a) \approx 783\ \mathrm{J}$. [0,5 т.] (Междинният числен отговор не е задължителен. Точката се дава за записването на един от двата израза в равенството)

Положителната стойност на $Q_{ab}$ означава, че газът получава топлина от външен нагревател. Процесът b-c е адиабатен, което означава, че газът не обменя топлина, т.е.: $Q_{bc} = 0\ \mathrm{J}$. [0,5 т.] През изобарния процес c-a газът обменя количество топлина: $Q_{ca} = nC_p(T_a - T_c) = \frac{5}{2}nR(T_a - T_c) \approx -499\ \mathrm{J}$. [0,5 т.] (Междинният числен отговор не е задължителен. Точката се дава за записването на един от двата израза в равенството)

Отрицателната стойност на $Q_{bc}$ означава, че при този процес газът отделя топлина към външен охладител. Тъй като при цикличен процес вътрешната енергия на газа не се променя, т.е. $\Delta U = 0$, от I принцип на термодинамиката следва, че работата, извършена от газа, е: $A_\mathrm{дв} = Q_{ab} + Q_{bc} + Q_{bc} \approx 284\ \mathrm{J}$. [1,0 т.] (0,5 т. за използването на I принцип и 0,5 т. за числен отговор)

От определението за КПД на двигател следва: $\eta = \frac{A_\mathrm{дв}}{Q_{ab}} \approx 0{,}36\ (36\%)$. [1,0 т.] (0,5 т. за правилно записана дефиниция за КПД и 0,5 т. за числен отговор)