Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 7. клас — Задача 2. Топящ се лед на дъното на съд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Олимпиада по физика 2023, областен кръг, тема за VII клас (първа състезателна група) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

На дъното на топлоизолиран, цилиндричен съд е закрепено парче лед с маса $m_{\mathrm{л}} = 540\ \mathrm{g}$ . В съда се налива вода с маса $m_{\mathrm{в}} = 600\ \mathrm{g}$ , която изцяло покрива леда. Ледът започва да се топи, при което нивото на водата в съда се променя. През цялото време ледът остава на дъното на съда и под повърхността на водата. Плътността на леда е $\rho_{\mathrm{л}} = 900\ \mathrm{kg/m^3}$ , а тази на водата $\rho_{\mathrm{в}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ .

2.1. Как се променя нивото на водата при топенето на леда, намалява или нараства – обосновете отговора си. [1,5 т.]

2.2. След известно време нивото на водата в съда спира да се променя. Пресметнете масата на останалия лед ако нивото на водата се е променило с $4\%$ . [7 т.]

2.3. Каква е температурата на водата когато нивото на водата спира да се променя. [1,5 т.]

Отговори

Решение

Решение 2.1. Плътността на леда е по-малка от тази на водата, тоест лед с определена маса ще има по-голям обем от вода със същата маса. [0.5 т.] Тъй като ледът е потопен изцяло във водата то нивото ѝ ще се определя от общия обем на леда и водата. [0.5 т.] При разтопяването на леда общия обем ще намалява съответно и нивото на водата в съда ще намалява. [0.5 т.]

Решение 2.2. Да означим с $x$ масата на разтопения лед, с $V$ сумарният обем на водата и леда в нея, с $h$ височината на водата в съда, а площта на основата на съда да е $S$ . Индекс 0 ще се отнася за величините преди леда да почне да се топи, индекс 1 ще се отнася за величините след като част от леда се е стопил. Имаме следните връзки между отделните величини:

h_1 = 0.96h_0,

[0.5 т.]

\frac{V_1}{V_0} = \frac{h_1}{h_0}, \quad \text{където сме използвали, че } V = hS,

[1 т.]

V_0 = \frac{m_{\mathrm{в}}}{\rho_{\mathrm{в}}} + \frac{m_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{л}}}, \quad V_1 = \frac{m_{\mathrm{в}} + x}{\rho_{\mathrm{в}}} + \frac{m_{\mathrm{л}} - x}{\rho_{\mathrm{л}}}.

[2 т.]

От последните четири равенства може да запишем:

\frac{m_{\mathrm{в}} + x}{\rho_{\mathrm{в}}} + \frac{m_{\mathrm{л}} - x}{\rho_{\mathrm{л}}} = 0.96\left(\frac{m_{\mathrm{в}}}{\rho_{\mathrm{в}}} + \frac{m_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{л}}}\right),

[2 т.]

ако заместим масите в g, а плътностите в $\mathrm{g/cm^3}$ ще получим неизвестната масата $x$ в g:

\frac{600 + x}{1} + \frac{540 - x}{0.9} = 0.96\left(\frac{600}{1} + \frac{540}{0.9}\right),

600 + x + 600 - 10x/9 = 0.96(600 + 600),

1200 - x/9 = 1152, \quad x/9 = 1200 - 1152,

x = 432\ \mathrm{g}.

[1 т.]

Така за масата на останалия лед получаваме $m = 540\ \mathrm{g} - 432\ \mathrm{g} = 108\ \mathrm{g}$ . [0.5 т.]

Решение 2.3. Ако нивото на водата не се променя това означава, че ледът вече не се топи. [0.5 т.] Топлообменът между леда и водата е приключил и те са с еднаква температурата, [0.5 т.] температурата на топене на леда, $0\ ^\circ\mathrm{C}$ . [0.5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2023_7problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_7solutions.pdf