Съдържание

Условие Част 1 (6 т.)Част 2 (4 т.)Отговори Решение

НОФ 2023, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Особености на риболова

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Областен кръг на олимпиадата по физика, 18.02.2023 г. — тема за трета състезателна група (9. клас) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

Част 1 (6 т.)

Петър бил запален рибар. Той използвал за въдицата цилиндрична плувка с височина $h = 25\ \mathrm{mm}$ и с плътност $\rho_{\mathrm{п}} = 900\ \mathrm{kg/m^3}$ . Петър направил два опита, за да тества плувката.

А) Опит 1. Петър закрепил малко тежко топче към плувката и я потопил в прясна вода с плътност $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . Оказало се, че плувката потънала изцяло до горния си ръб, както е показано на фиг. 2.

Съд с вода; в нея вертикален цилиндър с височина h, потопен точно до горния си ръб, с малко топче, закачено на долния му край.

Фиг. 2

На каква височина $\Delta h$ над повърхността на водата ще се издигне горният край на плувката със закрепеното към нея топче, ако тя бъде потопена в морска вода с плътност $\rho_{\mathrm{м}}=1034\ \mathrm{kg/m^3}$ ? [2 т.]

Б) Опит 2. Петър махнал топчето от плувката и я потопил в широк съд с три несмесващи се течности с плътности съответно $\rho_1 = 800\ \mathrm{kg/m^3}$ (отгоре), $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ (по средата) и $\rho_2 = 1100\ \mathrm{kg/m^3}$ (отдолу), както е показано на фиг. 3. При каква дебелина $x$ на средния слой течност разстоянието между основата на плувката и повърхността на долната течност е $d = 5\ \mathrm{mm}$ ?

Съд с три хоризонтални слоя течност, означени отгоре надолу с ро1, ро и ро2; дебелината на средния слой е означена с x.

Фиг. 3 [4 т.]

Жокер: Разгледайте два случая:

Плувката плава, като се намира едновременно в трите течности;
Плувката плава, без да е потопена в долната течност.

Част 2 (4 т.)

Петър искал да изработи от олово сферична рибарска тежест. За целта той използвал две еднакви тънкостенни полусфери, всяка с радиус $R$ и с маса $m$ . Горната полусфера е закрепена неповдижно, а долната е притисната към нея отдолу с вертикална сила $F$ . Границата между двете полусфери е хоризонтална. Плътността на оловото е $\rho_{\mathrm{о}}$ .

Сфера, съставена от две тънкостенни полусфери с хоризонтална граница, запълнена с разтопено олово; отдолу вертикална стрелка нагоре, означена с F.

Фиг. 4

През малък отвор при върха на горната полусфера в получената сферична кухина е налято разтопено олово, както е показано на фиг. 4. Получете израз за минималната сила $F$ , с която трябва да бъде притисната долната полусфера така, че оловото да не изтече от кухината, преди да се втвърди?

Отговори

Решение

Част 1

А) При плаване в прясна вода:

\rho g(Sh + V_{\mathrm{т}}) = (m + m_{\mathrm{т}})g, \qquad \textbf{(0,5 т)}

където $S$ е площта на основата на плувката, $m$ е нейната маса, а $V_{\mathrm{т}}$ и $m_{\mathrm{т}}$ са съответно обемът и масата на закаченото топче. При плаване в морска вода получаваме:

\rho g(S(h - \Delta h) + V_{\mathrm{т}}) = (m + m_{\mathrm{т}})g, \qquad \textbf{(0,5 т)}

Като извадим почленно двете уравнения, получаваме:

\Delta h = \left(1 - \frac{\rho}{\rho_{\mathrm{м}}}\right)h, \qquad \textbf{(0,5 т)}

\Delta h = 0{,}8\ \mathrm{mm}. \qquad \textbf{(0,5 т)}

Б) Първи случай: Плувката е потопена и в трите течности (вж. фигурата). Тогава условието за плаване има вида:

\rho_{\mathrm{п}}ghS = \rho_1 g(h - d - x) + \rho gSx + \rho_2 gSd \qquad \textbf{(1 т)}

x = h\frac{\rho_{\mathrm{п}} - \rho_1}{\rho - \rho_1} - d\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho - \rho_1} = 5\ \mathrm{mm} \qquad \textbf{(1 т)}

Втори случай: Плувката е потопена само в горната и в средната течност:

\rho_{\mathrm{п}}ghS = \rho_1 g(h + d - x) + \rho gS(x - d) \qquad \textbf{(1 т)}

x = d + h\frac{\rho_{\mathrm{п}} - \rho_1}{\rho - \rho_1} = 17{,}5\ \mathrm{mm} \qquad \textbf{(1 т)}

Две скици на съд с три слоя течност: вляво плувката стига в долния слой, с означени x и d; вдясно плувката е само в горните два слоя, с означени d и x.

Част 2

Силата на тежестта, която действа на долната полусфера и намиращото се в нея олово, е:

F_1 = mg + \rho_{\mathrm{о}}g\frac{2}{3}\pi R^3 \qquad \textbf{(1 т)}

От друга страна разтопеното олово в горната полусфера упражнява върху оловото в долната полусфера хидростатично налягане:

p = \rho_{\mathrm{о}}gR \qquad \textbf{(1 т)}

и следователно ѝ действа със сила на натиск:

F_2 = pS = \rho_{\mathrm{о}}gR \cdot \pi R^2 = \pi\rho_{\mathrm{о}}gR^3 \qquad \textbf{(1 т)}

От условието за равновесие следва, че долната полусфера трябва да бъде притисната със сила:

F = F_1 + F_2 = \left(m + \frac{5}{3}\pi\rho_{\mathrm{о}}gR^3\right)g \qquad \textbf{(1 т)}

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Флуиди · Архимедова сила · Хидростатика

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2023_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_9solutions.pdf