Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Падъл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

Момче с маса $\mathrm{m}$ седи по средата на падъл (плаваща дъска) с дебелина $\mathrm{h}$ , дължина $\mathrm{l}$ и широчина $\mathrm{w}$ (в направление, перпендикулярно на чертежа). Момчето държи тежка медицинска топка с маса $\mathrm{m}_1$ . Плътността на дъската (падъла) е $\rho_0$ , а плътността на водата е $\rho$ . Във всички части от задачата приемете, че: 1) дъската е достатъбно дебела и горната ѝ повърхност винаги остава над водата; 2) силата на съпротивление, с която водата действа на падъла, се пренебрегва.

Правоъгълен разрез на плаваща дъска с означени дебелина h, дължина l и дълбочина на газене d спрямо водната повърхност. — Напречен разрез на падъла: дебелина $h$ , дължина $l$ и дълбочина на потъване $d$ .

а) Като направите баланс на силите отделно върху системата „момче-топка“ и отделно върху дъската, намерете дълбочината $\mathrm{d}$ , на която потъва дъската. [4 т.]

б) Момчето хвърля топката към предния край на дъската от нулева височина спрямо горната ѝ повърхност. Векторът $\vec{v}_1$ на началната скорост на топката спрямо брега сключва ъгъл ъгъл $\theta$ с хоризонта. При каква максимална големина $v_{1\max}$ на началната скорост топката ще падне върху дъската, а не – извън нея? Намерете хоризонталната компонента на скоростта на системата „дъска-момче“, след като топката е хвърлена с тази максимална скорост. [4 т.]

в) Нека момчето хвърля топката с произволна скорост $v_1$ под ъгъл $\theta$ спрямо хоризонта. Докажете, че след хвърлянето системата „дъска-момче“ ще извършва трептене във вертикално направление. Намерете периода на това трептене. [3 т.]

г) Нека означим с $\vec{v}_{12}$ вектора на началната скорост на топката спрямо отправната система „дъска-момче“, а с $\vec{v}_2$ – скоростта на тази системата спрямо брега. Ако пренебрегнете малкото трептене на дъската във вертикално направление, направете чертеж, на който са начертани скоростта $\vec{v}_1$ на топката спрямо брега и дефинираните по-горе скорости $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_{12}$ . Каква е връзката между тези три вектора? [1 т.]

д) Покажете, че ъгълът $\theta_1$ между вектора $\vec{v}_{12}$ и хоризонта, е по-малък от $\theta$ . Ако приемете, че масата на системата „дъска-момче“ е много по-голяма от масата на топката, намерете ъгъла $\Delta\theta = \theta - \theta_1$ , като използвате приблизителните равенства $\mathrm{tg}\,x \approx x$ и $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$ , валидни при $|x| \ll 1$ и за произволна степен $\alpha$ . Изразете отговора посредством $\theta$ и дадените в условието параметри. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Силите са дадени на фигурата. Центърът на масата на дъската и центърът на масата на системата ‘момче-топка’ са отместени хоризонтално, за да не се претрупва чертежът. Масата на дъската е $\mathrm{M}$ , а земното ускорение $\mathrm{g}$ , Архимедовата сила е $\mathrm{F_A}$ , реакцията на дъската е $\mathrm{R}$ . Натискът, с който момчето действа на дъската е $\mathrm{N}$ . От третия принцип на Нютон следва $\mathbf{R} = -\mathbf{N}$ , т.е. за големините на силите, имаме

\mathrm{R} = \mathrm{N} \qquad (1)

Схема на плаваща дъска с момче отгоре и означени вектори на силите R, F_A, N, Mg и (m+m1)g. — Силите върху дъската и върху системата „момче-топка“: $R$ , $F_A$ , $N$ , $Mg$ и $(m+m_1)g$ .

Балансът на силите ни дава:

(\mathrm{m}+\mathrm{m}_1)\mathrm{g} = \mathrm{R} \qquad (2)

\mathrm{Mg} + \mathrm{N} = \mathrm{F_A}\,, \qquad (3)

а за Архимедовата сила имаме:

\mathrm{F_A} = \rho\,\mathrm{lwd}. \qquad (4)

Решаването на горната система уравнения, като отчетем, че:

\mathrm{M} = \rho_0\,\mathrm{lwh} \qquad (5)

дава:

\mathrm{d} = \frac{\rho_0}{\rho}\mathrm{h} + \frac{\mathrm{m}+\mathrm{m}_1}{\rho\,\mathrm{lw}}. \qquad (6)

б) На чертежа е показана половината от дъската, защото момчето е седнало по средата. С $\mathrm{v}_1$ сме обозначили скоростта на топката, а с $\mathrm{v}_2$ – скоростта на системата ‘момче-дъска’ (момчето не е начертано за простота на чертежа).

Параболична траектория на топка, хвърлена под ъгъл тета от левия край на дъска с дължина l/2, която се отдръпва със скорост v2. — Полетът на топката с начална скорост $v_1$ под ъгъл $\theta$ над половината дъска ( $l/2$ ), която се движи със скорост $v_2$ .

От закона за запазване на импулса имаме:

\mathrm{m}_1 v_1\cos\theta - (\mathrm{m}+\mathrm{M})v_2 = 0 \qquad (7)

Нещо повече, при $v_1 = v_{1\max}$ , топката ще падне точно в края на дъската, а при $v_1 > v_{1\max}$ , топката ще падне във водата, извън дъската. В такъв случай, при $v_1 = v_{1\max}$ имаме:

\mathrm{l}/2 - v_1\cos\theta = v_2\mathrm{t} \qquad (8)

Където $\mathrm{t}$ е времето за полет на топката. Както е известно от кинематиката, времето за полет е:

\mathrm{t} = \frac{2v_1\sin\theta}{\mathrm{g}} \qquad (9)

Решавайки горната алгебрична система и използвайки (5), получаваме:

v_{1\max} = \sqrt{\frac{\mathrm{gl}}{2\sin 2\theta}\,\frac{\mathrm{m}+\rho_0\mathrm{wlh}}{\mathrm{m}+\mathrm{m}_1+\rho_0\mathrm{wlh}}} \qquad (10)

Когато $v_1 = v_{1\max}$ за $v_2$ получаваме (използвайки (7)),

v_2 = \frac{\mathrm{m}_1\cos\theta}{\mathrm{m}+\rho_0\mathrm{wlh}}\sqrt{\frac{\mathrm{gl}}{2\sin 2\theta}\,\frac{\mathrm{m}+\rho_0\mathrm{wlh}}{\mathrm{m}+\mathrm{m}_1+\rho_0\mathrm{wlh}}} \qquad (11)

в) На чертежа са показани всички сили, които действат върху системата ‘момче-дъска’, като новото ѝ равновесно положение, след като е олекнала с $\mathrm{m}_1$ , е означено с $\mathrm{d}_1$ . Избираме оста $\mathrm{Oy}$ вертикално надолу с начало в новото равновесно положение. Написвайки втория закон на Нютон, получаваме:

(\mathrm{m}+\mathrm{M})\mathrm{g} - \rho\mathrm{g}(\mathrm{d}_1+\mathrm{y})\mathrm{lw} = (\mathrm{m}+\mathrm{M})\mathrm{a_y} \qquad (12)

От условието за равновесие знаем, че:

(\mathrm{m}+\mathrm{M})\mathrm{g} - \rho\mathrm{g}\mathrm{d}_1\mathrm{lw} = 0 \qquad (13)

Използвайки това условие, както и уравнение (5), уравнение (12) се опростява до:

\mathrm{a_y} = -\frac{\rho\mathrm{glw}}{\mathrm{m}+\rho_0\mathrm{lwh}}\,\mathrm{y} \qquad (14)

Коефициентът на пропорционалност между $\mathrm{a_y}$ и $\mathrm{y}$ е свързан с кръговата честота на трептенето: $\mathrm{a_y} = -\omega^2\mathrm{y}$ . Оттук получаваме честотата на трептене и съответно периода:

\mathrm{T} = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\rho\mathrm{glw}} + \frac{\rho_0}{\rho}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \qquad (15)

Разрез на дъската с ос Oy надолу, начало O, равновесна дълбочина d1, отклонение y и вектори F_A нагоре и (m+M)g надолу. — Новото равновесно положение $d_1$ на дъската и отклонението $y$ надолу; сили $F_A$ и $(m+M)\mathbf{g}$ .

Векторна диаграма със скорости v1, v2 и v12, ъгъл тета1 спрямо дъската и разлика делта тета между v1 и v12. — Векторният триъгълник $\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2$ и ъглите $\theta_1$ и $\Delta\theta$ .

г) Търсената връзка е очевидно:

\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_{12} + \mathbf{v}_2 \qquad (16)

а съответният чертеж е даден вдясно:

д) От чертежа е ясно, че $\theta > \theta_1$ . Като разложим векторите по компоненти, получаваме:

v_{12}\cos\theta_1 = v_1\cos\theta + v_2 \qquad (17)

v_{12}\sin\theta_1 = v_1\sin\theta \qquad (18)

Като разделим двете уравнения, получаваме:

\mathrm{tg}\,\theta_1 = \frac{v_1\sin\theta}{v_1\cos\theta + v_2} \qquad (19)

Като използваме условието (7), както и факта, че $\theta_1 = \theta - \Delta\theta$ , то имаме:

\mathrm{tg}(\theta-\Delta\theta) = \frac{\sin\theta}{\cos\theta + \dfrac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}\cos\theta} = \mathrm{tg}\,\theta\,\frac{1}{1+\dfrac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}} \approx \mathrm{tg}\,\theta\left(1-\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}\right) \qquad (20)

Сега развиваме по формулата: $\mathrm{tg}(\alpha-\beta) = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta}{1+\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}$ и използвайки приблизителните равенства, получаваме

\mathrm{tg}(\theta-\Delta\theta) \approx \mathrm{tg}\,\theta - \frac{\Delta\theta}{\cos^2\theta} \qquad (21)

Като сравним (20) с (21), получаваме:

\Delta\theta \approx \frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}\cos^2\theta \qquad (22)

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf