НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Падъл

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

Момче с маса $\mathrm{m}$ седи по средата на падъл (плаваща дъска) с дебелина $\mathrm{h}$, дължина $\mathrm{l}$ и широчина $\mathrm{w}$ (в направление, перпендикулярно на чертежа). Момчето държи тежка медицинска топка с маса $\mathrm{m}_1$. Плътността на дъската (падъла) е $\rho_0$, а плътността на водата е $\rho$. Във всички части от задачата приемете, че: 1) дъската е достатъбно дебела и горната ѝ повърхност винаги остава над водата; 2) силата на съпротивление, с която водата действа на падъла, се пренебрегва.

а) Като направите баланс на силите отделно върху системата „момче-топка“ и отделно върху дъската, намерете дълбочината $\mathrm{d}$, на която потъва дъската. [4 т.]

б) Момчето хвърля топката към предния край на дъската от нулева височина спрямо горната ѝ повърхност. Векторът $\vec{v}_1$ на началната скорост на топката спрямо брега сключва ъгъл ъгъл $\theta$ с хоризонта. При каква максимална големина $v_{1\max}$ на началната скорост топката ще падне върху дъската, а не – извън нея? Намерете хоризонталната компонента на скоростта на системата „дъска-момче“, след като топката е хвърлена с тази максимална скорост. [4 т.]

в) Нека момчето хвърля топката с произволна скорост $v_1$ под ъгъл $\theta$ спрямо хоризонта. Докажете, че след хвърлянето системата „дъска-момче“ ще извършва трептене във вертикално направление. Намерете периода на това трептене. [3 т.]

г) Нека означим с $\vec{v}_{12}$ вектора на началната скорост на топката спрямо отправната система „дъска-момче“, а с $\vec{v}_2$ – скоростта на тази системата спрямо брега. Ако пренебрегнете малкото трептене на дъската във вертикално направление, направете чертеж, на който са начертани скоростта $\vec{v}_1$ на топката спрямо брега и дефинираните по-горе скорости $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_{12}$. Каква е връзката между тези три вектора? [1 т.]

д) Покажете, че ъгълът $\theta_1$ между вектора $\vec{v}_{12}$ и хоризонта, е по-малък от $\theta$. Ако приемете, че масата на системата „дъска-момче“ е много по-голяма от масата на топката, намерете ъгъла $\Delta\theta = \theta - \theta_1$, като използвате приблизителните равенства $\mathrm{tg}\,x \approx x$ и $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$, валидни при $|x| \ll 1$ и за произволна степен $\alpha$. Изразете отговора посредством $\theta$ и дадените в условието параметри. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf