НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Трептене на точков електричен дипол

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

Електричен заряд $\mathrm{Q} = 1\,\mu\mathrm{C}$ е разпределен равномерно по тънък метален пръстен с радиус $\mathrm{R} = 1\,\mathrm{cm}$. Точков електричен дипол с маса $\mathrm{m} = 1\,\mathrm{g}$ и диполен момент $\vec{\mathrm{p}} = \mathrm{q}\vec{\delta}$, $|\vec{\mathrm{p}}| = 10^{-12}\ \mathrm{C.m}$, насочен по оста на пръстена, се движи по тази ос, без да променя ориентацията си (вж. фигурата). Влиянието на силата на тежестта е пренебрежимо.

Упътване. Като модел на точков дипол можем да разглеждаме неутрална система от два точкови заряда , които се намират на разстояние $\delta \ll R$. Векторът $\vec{\delta}$ е насочен от отрицателния към положителния точков заряд. Константата в закона на Кулон е:

$\mathrm{k} = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9.10^{9}\ \mathrm{N.m^2}\big/\mathrm{C^2}\,.$

При определен начин на решаване на задачата може да се окаже полезна приближената формула:

$(1+\mathrm{x})^{\alpha} \approx 1+\alpha\mathrm{x}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\mathrm{x}^2,\quad |\mathrm{x}| \ll 1\,.$

Ако при анализ на даден сложен израз членът, пропорционален на $x$, е различен от нула, можем да не отчитаме квадратичния член. Когато линейният член е равен на нула, съществен се оказва членът, пропорционален на $x^2$.

а) Получете израз за потенциалната енергия U на дипола като функция на разстоянието z между дипола и центъра на пръстена. [4 т.]

б) Начертайте качествено графиката на функцията U(z). [5 т.]

в) При какви начални условия (начално положение и начална скорост) диполът ще извършва движение с характер на трептене? [2 т.]

г) Определете периода на хармоничното трептене на дипола. [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf