НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Магнитно махало

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

На разстояние $b$ над неподвижен дълъг праволинеен проводник се намира подвижен проводник с дължина $l$ и маса $m$, който е закачен на две вертикални проводящи пръчки с дължина $a$ и пренебрежима маса. Цялата рамка може да се върти (люлее като махало) около проводяща хоризонтална ос, минаваща през горните краища на двете вертикални пръчки. Неподвижният проводник и рамката над него са свързани последователно към източник на напрежение (не е показан на фигурата) така, че по тях тече еднакъв по големина ток I в противоположна посока, както е показано на фигурата (вдясно – поглед отпред; вляво – поглед отстрани). Големината на тока може да се регулира плавно.

Земното ускорение е $g$. В решението използвайте само означенията за величини, разстояния и ъгли, дадени на фигурата и по-долу в текста. Ефектите, свързани с електромагнитна индукция, се пренебрегват.

а) При каква големина $I_1$ на тока подвижният проводник ще бъде в безтегловност (силата на опън на вертикалните проводници ще бъде нула)? [2 т.]

б) Получете формула за кръговата честота $\omega_0$ на малките трептения* на подвижния проводник около най-ниското му положение, когато по него тече ток $I$.

*т.е. когато проводникът трепти, пръчките, на които е окачен, се отклоняват на малки ъгли от вертикалата. [3 т.]

в) При каква големина $I_2$ на тока честотата $\omega_0$ ще стане нула? Изразете тока $I_2$ чрез тока $I_1$. [1 т.]

г) При достатъчно голям ток $I_\alpha$ подвижният проводник може да се отклони встрани и да бъде в равновесие при произволен ненулев ъгъл $\alpha$. Получете формула за $I_\alpha$. Получете формули за граничните случаи $I_0 = I_\alpha(\alpha \to 0)$ и $I_\pi = I_\alpha(\alpha \to \pi)$. [3 т.]

д) При каква големина $I_3$ на тока подвижният проводник ще бъде в безтегловност в най-горното си положение ($\alpha = \pi$, силата на опъване на вертикалните проводници ще бъде нула)? Изразете тока $I_3$ чрез тока $I_\pi$. [1 т.]

е) Получете израз за кръговата честота $\omega_\alpha$ на малките трептения на подвижния проводник, когато равновесното му положение е на даден ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата (за по-компактен отговор, вместо ъгъла $\alpha$, използвайте съответния му ъгъл $\beta$) [4 т.]

ж) При каква стойност на ъгъла $\alpha$ кръговата честота $\omega_\alpha$ ще има максимална стойност $\omega_{\alpha,\max}$? Колко ще бъде $\omega_{\alpha,\max}$? [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf