Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Билеща на Бийе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

Точков източник S на монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda = 650$ nm се намира на разстояние $a = 15,0$ cm от тънка събирателна леща с фокусно разстояние $f = 5,0$ cm и диаметър $D = 1,0$ cm, върху оптичната ѝ ос (фиг. 4-1).

Внимание! На фигурите различните размери са дадени в различен мащаб.

а) На какво растояние $b$ зад лещата трябва да бъде поставен екран, така че върху него да се получи образ на източника? [2 т.]

б) Лещата е разрязана по диаметъра си в равнина, перпендикулярна на чертежа. Двете ѝ половини са отдалечени на разстояние $h = 1,0$ mm една от друга, симетрично спрямо оста, на която се намира източникът (фиг. 4-2). Зад празнината между полу-лещите е поставена преграда, която не пропуска светлина. Върху екрана се наблюдават два образа на източника.

Начертайте хода на лъчите, от които се формират двата образа. Колко е разстоянието $d$ между образите? [4 т.]

в) Екранът е отдалечен на разстояние $L = 1,00$ m от разрязаната на две леща. В центъра на екрана се набллюдава интерференчна картина, която се състои от редуващи се тъмни и светли ивици.

Колко е разстоянието $\Delta x$ между последователните светли ивици? [4 т.]

в) (продължение) Общо колко интерференчни максимума се наблюдават върху екрана? [5 т.]

Вляво: точков източник S върху оптичната ос на събирателна леща с диаметър D на разстояние a. Вдясно: същата леща, разрязана по диаметъра, с двете половини, раздалечени на разстояние h. — Фиг. 4-1 – източник $S$ на разстояние $a$ от леща с диаметър $D$ ; Фиг. 4-2 – двете половини на лещата, раздалечени на разстояние $h$ .

Отговори

Решение

а) От формулата за тънка леща:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{1}{f} \qquad \textbf{[1,0 т]}

намираме:

b = \frac{af}{a-f} = 7,5\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

б) Двете половини пречупват лъчите като две отделни събирателни лещи с еднакво фокусно разстояние f, но с успоредни оптични оси, отместени на разстояние h, една от друга. Всяка от тях фокусира лъчите от източника на еднакво разстояние b от лещата, в точки, отместени спрямо оста, на която се намира източникът. На фигурата, за всяка полу-леща е показан ходът на два лъча, формиращи съответния образ на източника. Образите се намират на пресечните точки между лъчите $\mathrm{SO_1}$ и $\mathrm{SO_2}$ , минаващи през оптичните центрове на двете половини, с екрана (вертикалната пунктирана линия)

За правилно построен чертеж: [2,0 т] При липсващи елементи: лъчите $\mathrm{SO_1}$ и $\mathrm{SO_2}$ или лъчите, които се пречупват от лещата, се отнемат по 0,5 т.

Лъчев чертеж: източник S вляво, разрязана леща с оптични центрове O1 и O2, образи S1 и S2 на разстояние b, екран на разстояние L с точки A1, xk, A2 и ъгъл тета. — Ход на лъчите през двете полу-лещи: образите $S_1$ и $S_2$ на разстояние $b$ , екранът на разстояние $L$ , краищата $A_1$ и $A_2$ на интерференчната картина.

От подобието на триъгълниците $\mathrm{SO_1O_2}$ и $\mathrm{SS_1S_2}$ получаваме пропорцията:

\frac{S_1S_2}{O_1O_2} = \frac{a+b}{a}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Като вземем предвид, че $O_1O_2 = h$ и $S_1S_2 = d$ , намираме:

d = \frac{(a+b)h}{a} = 1,5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} = 1,5\ \mathrm{mm}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

в) Двата образа са кохерентни източници на вълни, подобно на процепите в опита на Юнг. Разтоянието от източниците до екрана е $L_1 = L - b = 92,5$ cm. Тъй като $d \ll L_1$ , условието за максимум от порядък $k$ може да се запише:

d\sin\theta_k = k\lambda, \qquad \textbf{[1,0 т]}

където $\theta_k$ е дефинираният на фигурата ъгъл. Ако изберем върху екрана вертикална ос x с начало в нулевия максимум, тогава координатата на k-тия максимум е:

x_k = L_1\tan\theta_k. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Тъй като $\lambda \ll d$ , за максимуми от сравнително малък порядък е изпълнено приближението на малки ъгли: $\sin\theta_k \approx \tan\theta_k \approx \theta_k/\mathrm{rad}$ . Тогава получаваме:

x_k \approx L_1\sin\theta_k = k\frac{L_1\lambda}{d}, \qquad \textbf{[1,0 т]}

което означава, че максимумите следват през практически равни разстояния:

\Delta x = x_{k+1}-x_k = \frac{L_1\lambda}{d} = \frac{0,925\ \mathrm{m}\ .\ 6,50\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}}{1,5\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}} \approx 4,0\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m} = 0,4\ \mathrm{mm}. \qquad \textbf{[1,5 т]}

Краищата $\mathrm{A_1}$ и $\mathrm{A_2}$ на интерференчната картина върху екрана съответстват на лъчите, които минават през оптичните центрове $O_1$ и $O_2$ на двете полу-лещи. От подобието на триъгълниците $\mathrm{SO_1O_2}$ и $\mathrm{S}A_1A_2$ получаваме пропорцията:

\frac{A_1A_2}{O_1O_2} = \frac{L+a}{a}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Като вземем предвид, че $O_1O_2 = h$ и означим с $W = A_1A_2$ широчината на интерференчната картина, намираме:

W = \frac{(L+a)h}{a} \approx 7,67\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} = 7,67\ \mathrm{mm}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Тъй като максимумите са разположени симетрично спрямо нулевия, е изпълнено условието:

x_k \le \frac{W}{2}, \qquad \textbf{[1,0 т]}

т.е. максималният порядък на интерференчен максимум е:

k_{\max} = \left[\frac{W}{2\Delta x}\right] = 9, \qquad \textbf{[1,0 т]}

където $[...]$ означава цяла част. Като вземем предвид и нулевия максимум, намираме че общият брой максимуми е:

N = 2k_{\max}+1 = 19. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf