Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Трептене на точков електричен дипол

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, пета състезателна група (11.–12. клас) · 22 април 2023 г. · 15 т.

Условие

Електричен заряд $\mathrm{Q} = 1\,\mu\mathrm{C}$ е разпределен равномерно по тънък метален пръстен с радиус $\mathrm{R} = 1\,\mathrm{cm}$ . Точков електричен дипол с маса $\mathrm{m} = 1\,\mathrm{g}$ и диполен момент $\vec{\mathrm{p}} = \mathrm{q}\vec{\delta}$ , $|\vec{\mathrm{p}}| = 10^{-12}\ \mathrm{C.m}$ , насочен по оста на пръстена, се движи по тази ос, без да променя ориентацията си (вж. фигурата). Влиянието на силата на тежестта е пренебрежимо.

Кръгъл пръстен, показан в перспектива, с означен радиус R и вертикална стрелка p по оста му. — Пръстен с радиус $R$ и дипол с момент $\vec{p}$ , насочен по оста на пръстена.

Упътване. Като модел на точков дипол можем да разглеждаме неутрална система от два точкови заряда , които се намират на разстояние $\delta \ll R$ . Векторът $\vec{\delta}$ е насочен от отрицателния към положителния точков заряд. Константата в закона на Кулон е:

\mathrm{k} = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9.10^{9}\ \mathrm{N.m^2}\big/\mathrm{C^2}\,.

При определен начин на решаване на задачата може да се окаже полезна приближената формула:

(1+\mathrm{x})^{\alpha} \approx 1+\alpha\mathrm{x}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\mathrm{x}^2,\quad |\mathrm{x}| \ll 1\,.

Ако при анализ на даден сложен израз членът, пропорционален на $x$ , е различен от нула, можем да не отчитаме квадратичния член. Когато линейният член е равен на нула, съществен се оказва членът, пропорционален на $x^2$ .

а) Получете израз за потенциалната енергия U на дипола като функция на разстоянието z между дипола и центъра на пръстена. [4 т.]

б) Начертайте качествено графиката на функцията U(z). [5 т.]

в) При какви начални условия (начално положение и начална скорост) диполът ще извършва движение с характер на трептене? [2 т.]

г) Определете периода на хармоничното трептене на дипола. [4 т.]

Отговори

Решение

а) Първи начин. Малък участък от пръстена, разглеждан като точков електричен заряд, създава върху оста на пръстена електрично поле с потенциал

\Delta\varphi = \mathrm{k}\frac{\Delta \mathrm{q}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2}}\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

Като сумираме потенциалите, създадени от всички малки участъци на пръстена, намираме

\varphi(\mathrm{z}) = \mathrm{k}\frac{\mathrm{Q}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2}}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където оста $0\mathrm{z}$ е насочена вертикално нагоре. За потенциалната енергия на дипола намираме

\mathrm{U}(\mathrm{z}) = \mathrm{q}\varphi(\mathrm{z}+\delta) - \mathrm{q}\varphi(\mathrm{z})\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

Като отчетем, че $\varphi(\mathrm{z}+\delta) - \varphi(\mathrm{z}) = \varphi'(\mathrm{z})\delta$ и пресметнем:

\varphi'(\mathrm{z}) = -\mathrm{kQ}\frac{\mathrm{z}}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2)^{3/2}}\,, \qquad \textbf{[1 т.]}

потенциалната енергия придобива вида

\mathrm{U}(\mathrm{z}) = -\mathrm{kQ}\frac{\mathrm{pz}}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2)^{3/2}} \qquad \textbf{[0,5 т.]}

или алтернативно:

\varphi(\mathrm{z}+\delta) \approx \mathrm{kQ}\frac{1}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2+2\mathrm{z}\delta)^{1/2}} \approx \mathrm{kQ}\left[\frac{1}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2}} - \frac{\mathrm{z}\delta}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2)^{3/2}}\right], \qquad \textbf{[1 т.]}

и за потенциалната енергия получаваме отново

\mathrm{U}(\mathrm{z}) = -\mathrm{kQ}\frac{\mathrm{pz}}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2)^{3/2}} \qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) Потенциалната енергия на дипола е отрицателна при $\mathrm{z} > 0$ (диполът се намира над пръстена) [0,5 т.] и положителна при $\mathrm{z} < 0$ (диполът се намира под пръстена) [0,5 т.]. Около $\mathrm{z} = 0$ потенциалната енергия намалява линейно [0,5 т.], докато при $\mathrm{z} \to -\infty$ клони към нула чрез положителни стойности [0,5 т.], а при $\mathrm{z} \to \infty$ клони към нула чрез отрицателни стойности [0,5 т.].

При $\mathrm{z}_1 = -\mathrm{R}/\sqrt{2}$ [0,5 т.] потенциалната енергия на дипола има максимум

\mathrm{U}_{\max} = \frac{4\mathrm{kpQ}}{3^{3/2}\mathrm{R}^2}\,, \qquad \textbf{[0,25 т.]}

докато при $\mathrm{z}_2 = \mathrm{R}/\sqrt{2}$ [0,5 т.] – има минимум

\mathrm{U}_{\min} = -\mathrm{U}_{\max}. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

или алтернативно: Тъй като потенциалната енергия е нечетна функция на $\mathrm{z}$ , при $\mathrm{z}_1 = -\mathrm{a}$ [0,5 т.] потенциалната енергия на дипола има максимална стойност $\mathrm{U}_{\max}$ , докато при $\mathrm{z}_2 = \mathrm{a}$ [0,5 т.] – има минимална стойност $\mathrm{U}_{\min} = -\mathrm{U}_{\max}$ . [0,5 т.]

Нечетна крива с максимум при отрицателно x около -0,7 и минимум при положително x около 0,7, клоняща към нула в двата края. — Графика на $f(x) = \dfrac{R^2}{kQp}U(z) = -\dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$ като функция на $x = z/R$ .

Графиката на потенциалната енергия на дипола

\mathrm{f}(\mathrm{x}) = \frac{\mathrm{R}^2}{\mathrm{kQp}}\mathrm{U}(\mathrm{z}) = -\frac{\mathrm{x}}{(1+\mathrm{x}^2)^{3/2}}

като функция на $\mathrm{x} = \mathrm{z}/\mathrm{R}$ е показана на фигурата. [1 т.]

в) Трептене е възможно, когато движението се извършва около минимума на потенциалната енергия, т.е. при енергия на дипола $\varepsilon < 0$ [0,5 т.]. Следователно началното положение трябва да е $\mathrm{z}_0 > 0$ [0,5 т.], а началната скорост трябва да удовлетворява условието

\varepsilon = \frac{\mathrm{m}v_0^2}{2} - \mathrm{kQ}\frac{\mathrm{p}\mathrm{z}_0}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}_0^2)^{3/2}} < 0\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

v_0 < \sqrt{\frac{2}{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{kpQz}_0}{\left(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}_0^2\right)^{3/2}}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

г) Диполът извършва хармонични трептения при малко отклонение от равновесното положение, когато потенциалната енергия може да се апроксимира с израза

\mathrm{U}(\mathrm{z}) \approx \mathrm{U}_{\min} + \frac{1}{2}\mathrm{U}''(\mathrm{z}_2)(\mathrm{z}-\mathrm{z}_2)^2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава периодът на хармоничното трептене е

\mathrm{T} = 2\pi\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{U}''(\mathrm{z}_2)}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

След двукратно диференциране на потенциалната енергия намираме

\mathrm{U}''(\mathrm{z}) = \mathrm{kQp}\frac{4\mathrm{z}}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2)^{5/2}}\left[1+5\frac{\mathrm{R}^2-2\mathrm{z}^2}{\mathrm{R}^2+\mathrm{z}^2}\right], \qquad \textbf{[1 т.]}

\mathrm{U}''(\mathrm{z}_2) = \frac{4^2}{3^{5/2}\mathrm{R}^4}\mathrm{kQp}\,, \qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето следва

\mathrm{T} = \frac{3^{5/4}\pi\mathrm{R}^2}{2}\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{kpQ}}} \approx 0{,}2\ \mathrm{s}\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

или алтернативно: Диполът извършва хармонични трептения при малко отклонение от равновесното положение, когато потенциалната енергия може да се апроксимира с израза

\mathrm{U}(\mathrm{z}) \approx \mathrm{U}_{\min} + \frac{1}{2}\mathrm{K}(\mathrm{z}-\mathrm{z}_2)^2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава периодът на хармоничното трептене е

\mathrm{T} = 2\pi\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Ще запишем потенциалната енергия във вида

\mathrm{U}(\mathrm{z}) = -\mathrm{kQp}\frac{(\mathrm{z}-\mathrm{a})+\mathrm{a}}{\left\{\mathrm{R}^2+\left[(\mathrm{z}-\mathrm{a})+\mathrm{a}\right]^2\right\}^{3/2}} = -\mathrm{kQp}\frac{\left[(\mathrm{z}-\mathrm{a})+\mathrm{a}\right]}{\left(\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2\right)^{3/2}}\left\{1+\frac{2\mathrm{a}(\mathrm{z}-\mathrm{a})}{\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2}+\frac{(\mathrm{z}-\mathrm{a})^2}{\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2}\right\}^{-3/2}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме формулата от условието на задачата, можем да получим

\left\{1+\frac{2\mathrm{a}(\mathrm{z}-\mathrm{a})}{\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2}+\frac{(\mathrm{z}-\mathrm{a})^2}{\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2}\right\}^{-3/2} \approx 1 - \frac{3\mathrm{a}(\mathrm{z}-\mathrm{a})}{\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2} + \frac{3(\mathrm{z}-\mathrm{a})^2}{2(\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2)^2}(4\mathrm{a}^2-\mathrm{R}^2)\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

при което имаме

\mathrm{U}(\mathrm{z}) \approx -\frac{\mathrm{kQpa}}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2)^{3/2}} + \frac{\mathrm{kQp}(2\mathrm{a}^2-\mathrm{R}^2)}{(\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2)^{5/2}}(\mathrm{z}-\mathrm{a}) + \mathrm{kQp}\frac{3\mathrm{a}(3\mathrm{R}^2-2\mathrm{a}^2)}{2(\mathrm{R}^2+\mathrm{a}^2)^{7/2}}(\mathrm{z}-\mathrm{a})^2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тъй като изразът с $(\mathrm{z}-\mathrm{a})$ не трябва да присъства, намираме $\mathrm{a} = \mathrm{R}/\sqrt{2}$ [0,5 т.]. Тогава имаме

\mathrm{K} = \frac{4^2}{3^{5/2}\mathrm{R}^4}\mathrm{kQp}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

\mathrm{T} = \frac{3^{5/4}\pi\mathrm{R}^2}{2}\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{kpQ}}} \approx 0{,}2\ \mathrm{s}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf