Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Трупчета и макари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, втора състезателна група (8. клас) · 22 април 2023 г. · 10 т.

Условие

Лека макара има два улея с различен радиус, съответно $R_1 = 4\ \mathrm{cm}$ и $R_2 = 5\ \mathrm{cm}$ , както е показано на фигурата. Макарата може да се върти без триене около неподвижна хоризонтална ос $O$ . Около двата улея са намотани тънки леки нишки, на чиито свободни краища от различни страни спрямо оста са окачени две теглилки, 1 и 2, с еднаква маса $m = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ .

В началния (нулев) момент теглилките са неподвижни и се намират на еднаква височина $h = 0{,}5\ \mathrm{m}$ над хоризонтален под. След това теглилките са оставени да се движат, при което една от тях започва да се спуска надолу, а другата – да се издига нагоре. Приемете, че по време на движението на теглилките: 1) никоя от нишките не се размотава изцяло; 2) теглилката, която се издига, не се удря в макарата.

Макара с два концентрични улея около ос O; от левия улей виси теглилка 1, от десния – теглилка 2, и двете на височина h над пода.

а) Коя от двете теглилки започва да се спуска и коя – да се издига? Обосновете отговора си. [1,5 т.]

б) Нека в определен момент скоростите на теглилките са $v_1$ и $v_2$ съответно. Изразете отношението $v_1/v_2$ чрез дадените в условието величини. [2 т.]

в) Определете скоростите на теглилките в момента, когато движещата се надолу теглилка достига пода? [5,5 т.]

г) На каква максимална височина $h_{\max}$ над пода се издига другата теглилка? [1 т.]

В тази задача можете да приемете, че $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Решение

а) Първи вариант – аналогия с лост

Можем да разглеждаме макарата като двустранен лост с рамена $R_1 = 4\ \mathrm{cm}$ и $R_2 = 5\ \mathrm{cm}$ [0,5 т]. Понеже на двете рамена са окачени тела с еднаква маса, лостът ще се наклони в посока на по-дългото рамо 2. [0,5 т]. Следователно теглилката 1 ще започне да се издига, а теглилката 2 – да се спуска. [0,5 т].

Втори вариант – закон за запазване на енергията (ЗЗЕ)

Когато теглилките започнат да се движат, тяхната кинетична енергия се увеличава. От ЗЗЕ следва, че при това общата потенциална енергия на теглилките намалява [0,5 т]. За едно и също време теглилката 2 се премества на по-голямо разстояние, отколкото теглилката 1, защото нейната нишка е намотана около улей с по-голям радиус [0,5 т]. Следователно теглилката 2 се спуска надолу, а 1 се издига нагоре, понеже в този случай потенциална енергия на теглилката 2 намалява с повече, отколкото се увеличава потенциалната енергия на теглилката 1 [0,5 т].

б) Нека разгледаме едно завъртане на макарата. Тогава на улея 1 се намотава част от нишката с дължина $2\pi R_1$ и теглилката 1 се издига нагоре съответно с:

\Delta h_1 = 2\pi R_1. \qquad \textbf{[0,5 т]}

За същото време от улея 2 се размотава част от нишката с дължина $2\pi R_2$ и теглилката 2 се спуска надолу с:

\Delta h_2 = 2\pi R_2. \qquad \textbf{[0,5 т]}

От двете равенства получаваме, че отношението на пътищата, изминати от двете теглилки, е:

\Delta h_1/\Delta h_2 = R_1/R_2. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Това съотношение е в сила не само за времето на едно завъртане на макарата, но и за произволно малък интервал от време $\Delta t$ , когато макарата прави само част от пълното завъртане. Като вземем предвид, че моментната скорост на дадена теглилка е $v = \Delta h/\Delta t$ , получаваме:

v_1/v_2 = R_1/R_2 = 4/5. \qquad \textbf{[0,5 т]}

в) Нека изберем повърхността на пода като нулево ниво. В началния момент теглилките са неподвижни и имат нулева кинетична енергия. Понеже те се намират на еднаква височина, всяка от тях има потенциална енергия $mgh$ . Следователно пълната механична енергия на системата в началния момент е:

E = mgh + mgh = 2mgh. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Теглилката 2 изминава път $\Delta h_2 = h$ , докато достигне пода. За същото време теглилката 1 изминава нагоре път:

\Delta h_1 = hR_1/R_2 \qquad \textbf{[0,5 т]}

и в този момент се намира на височина:

h_1 = h + \Delta h_1 = h(1 + R_1/R_2) = 9h/5. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Общата потенциална енергия на системата в този момент е:

E_{\text{п}} = mg \cdot 0 + mgh_1 = 9mgh/5, \qquad \textbf{[0,5 т]}

защото теглилката 2 се намира на нулева височина. Като отчетем кинетичната енергия на теглилките, за пълната механична енергия получаваме израза:

E = mv_1^2/2 + mv_2^2/2 + 9mgh/5, \qquad \textbf{[0,5 т]}

където $v_1$ и $v_2$ са търсените скорости. Тогава от ЗЗЕ имаме:

2mgh = mv_1^2/2 + mv_2^2/2 + 9mgh/5. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Като заместим $v_2 = 5v_1/4$ , получаваме уравнение за скоростта на първата теглилка:

41v_1^2/16 = 2gh/5,

откъдето намираме:

v_1 = 4\sqrt{2gh/205} \approx 0{,}88\ \mathrm{m/s}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Съответно за скоростта на втората теглилка имаме:

v_2 = 5\sqrt{2gh/205} \approx 1{,}10\ \mathrm{m/s}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

в) В момента, когато теглилката 2 доста пода, нишката престава да „дърпа” теглилката 1 нагоре. Тя обаче има ненулева скорост и продължава да се издига известна време, като се забавя под действие на силата на тежестта. В момента, когато достигне максималната височина $h_{\max}$ , теглилката 1 има нулева скорост и нулева кинетична енергия. От ЗЗЕ, приложен за теглилката 1, имаме:

\frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = mgh_{\max}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

откъдето:

h_{\max} = \frac{16h}{205} + \frac{9h}{5} = \frac{77}{41}h \approx 0.94\ \mathrm{m} \qquad \textbf{[0,5 т]}

Оригинал в Архива: NOF3_2023_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2023_8solutions.pdf