Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Потъване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, втора състезателна група (8. клас) · 22 април 2023 г. · 10 т.

Условие

На тяло, движещо се в течност или газ, освен изтласкващата сила, действа и сила на съпротивление $f$ в посока, противоположна на посоката на неговата скорост $v$ , както е илюстрирано на фиг. 3 a. Големината на силата на съпротивление зависи от скоростта на тялото по закона:

f = C\rho_0 v^2 S,

където $\rho_0$ е плътността на течността, а $S$ е лицето на напречното сечение на тялото, т.е. лицето на фигурата, която бихме виждали, ако гледаме срещу движещото се към нас тяло, както е показано на фиг. 3 а. Коефициентът $C$ се нарича коефициент на челно съпротивление и зависи от конкретната форма на тялото.

Подводница, движеща се надясно със скорост v, срещу нея сила f, вдясно очертано напречно сечение S.

Метално кълбо с радиус $R$ и с плътност $\rho$ e пуснато да потъва с нулева начална скорост в течност с по-малка плътност $\rho_0$ . Ако течността е достатъчно дълбока, кълбото достига определена гранична скорост $v_{\text{г}}$ , след което продължава да се движи равномерно. Приемете, че в началния момент кълбото е изцяло потопено в течността.

Графика h (m) спрямо t (s) с десет експериментални точки от (0,0; 0) до (1,8; 4,7); след около 1 s точките лежат на права линия.

а) Определете ускорението $a_0$ на кълбото в момента, когато е пуснато да потъва. [2,5 т.]

б) Получете израз за граничната скорост $v_{\text{г}}$ , която достига кълбото. [2,5 т.]

В точки а) и б) изразете търсените величини посредством $\rho$ , $\rho_0$ , $R$ , земното ускорение $g$ и коефициента $C$ на челно съпротивление на кълбото.

в) В басейн е пуснато да потъва метално кълбо с радиус $R = 10\ \mathrm{cm}$ . На фиг. 3 б са дадени експериментално измерени данни за дълбочината $h$ на горния край на кълбото в различни моменти от време $t$ , преди кълбото стигне дъното. Като използвате данните от графиката, определете приблизително плътността $\rho$ на метала и коефициента $C$ на челно съпротивление на кълбото. [5 т.]

Данни и полезни формули:

Земно ускорение, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ ;

Плътност на водата, $\rho_0 = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ;

Лице на кръг: $S = \pi R^2$ и обем на кълбо: $V = (4/3)\pi R^3$ .

Решение

а) В началния момент скоростта на кълбото е нула и не му действа сила на съпротивление [0,5 т]. Кълбото се ускорява под действие на силата G на тежестта и Архимедовата сила $F_{\mathrm{A}}$ . От втория принцип на механиката следва:

ma = mg - F_{\mathrm{A}} \qquad \textbf{[0,5 т]}

Обемът на кълбото е $V = 4\pi R^3/3$ , а масата му:

m = \rho V = \frac{4\pi R^3 \rho}{3} \qquad \textbf{[0,5 т]}

Архимедовата сила е равна на:

F_{\mathrm{A}} = \rho_0 V g = \frac{4\pi R^3 \rho_0 g}{3} \qquad \textbf{[0,5 т]}

След като заместим изразите за $m$ и $F_{\mathrm{A}}$ във втория принцип на механиката, изразяваме ускорението в началния момент:

a_0 = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right) g \qquad \textbf{[0,5 т]}

б) Когато започне да потъва надолу, на кълбото действа и сила на съпротивление, насочена нагоре [0,5 т]. Напречното сечение на кълбото е кръг с площ $S = \pi R^2$ . Следователно големината на силата на съпротивление е:

f = \pi C R^2 v^2 \qquad \textbf{[0,5 т]}

След като достигне граничната си скорост, кълбото продължава да се движи с нулево ускорение [0,5 т]. От II принцип на механиката следва, че силите, които му действат се уравновесяват:

mg = F_{\mathrm{A}} + f \qquad \textbf{[0,5 т]}

Като заместим изразите за $m$ , $F_{\mathrm{A}}$ и $f$ във втория принцип на механиката, получаваме уравнението:

\frac{4\pi R^3 \rho g}{3} = \frac{4\pi R^3 \rho_0 g}{3} + \pi C \rho_0 R^2 v_{\text{г}}^2,

от което намираме граничната скорост:

v_{\text{г}} = \sqrt{\frac{4R(\rho - \rho_0)g}{3C\rho_0}} \qquad \textbf{[0,5 т]}

в) Плътността на метала можем да определим, ако измерим началното ускорение на кълбото. От графиката определяме, че в момента $t = 0{,}4\ \mathrm{s}$ , изминатият от кълбото път е $h \approx 0{,}5\ \mathrm{m}$ . [0,5 т] За този малък интервал може да пренебрегнем силата на съпротивление и да приемем, че кълбото се движи равноускорително с ускорение $a_0$ . От закона за равноускорително движение $h = a_0t^2/2$ намираме:

a_0 = \frac{2h}{t^2} \approx \frac{2 \cdot 0{,}5\ \mathrm{m}}{(0{,}4\ \mathrm{s})^2} = 6{,}25\ \mathrm{m/s^2} \qquad \textbf{[0,5 т]}

От израза за ускорението, получен в т. а), намираме:

\rho = \frac{\rho_0 g}{g - a_0} \approx 2760\ \mathrm{kg/m^3}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

От графиката се вижда, че след първата секунда експерименталните точки лежат практически на една права линия. Това означава, че след този момент кълбото се движи равномерно, т.е. с постоянна скорост, равна на граничната скорост [0,5 т]. В момента $t_1 = 1\ \mathrm{s}$ кълбото се намира на дълбочина $h_1 = 2{,}2\ \mathrm{m}$ [0,5 т], а в крайния момент $t_2 = 1{,}8\ \mathrm{s}$ – на дълбочина $h_2 = 4{,}7\ \mathrm{m}$ [0,5 т]. От тези данни определяме граничната скорост:

v_{\text{г}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{2{,}5\ \mathrm{m}}{0{,}8\ \mathrm{s}} \approx 3{,}13\ \mathrm{m/s}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

От израза за граничната скорост в т. б) намираме коефициента на челно съпротивление:

C = \frac{4R(\rho - \rho_0)g}{3\rho_0 v_{\text{г}}^2} \approx 0{,}24. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Оригинал в Архива: NOF3_2023_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2023_8solutions.pdf