НОФ 2024, II кръг (областен), 10. клас — Задача 2. Електрон и позитрон

• а) $d_{\min} = d_0 - \frac{v_0^2}{4a} = d_0 - \frac{m_ev_0^2}{4eE},\qquad v_{d\min} = \frac{v_0}{2}$

  $a = \dfrac{eE}{m_e}$.

• б) $d_{v=0} = d_0 - \frac{v_0^2}{a} + \frac{v_0^2}{2a} + \frac{v_0^2}{2a} = d_0$

• в) $\frac{v_p}{v_e} = \frac{2v_0}{v_0} = 2$

  Скоростта на позитрона е двойно по-голяма от скоростта на електрона.

а) Тъй като електронът е отрицателно зареден, електричната сила $F$ върху него е обратна на посоката на полето, т.е. е обратна на посоката на първоначалното му движение. [0,5 т.] Това означава, че отначало електронът ще се движи равнозакъснително с ускорение $a = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{eE}{m_e}$. [1 т.] Позитронът е с положителен заряд и съответно ще се ускорява по посока на полето със същото по големина ускорение. [0,5 т.] Минималното разстояние се достига, когато скоростите на частиците се изравнят. [0,5 т.] Ако измерваме времето $t$ спрямо момента на включване на полето, отначало скоростите на двете частици имат вида: $v_e = v_0 - at$ и $v_p = at$. [0,5 т.] Понеже в момента на максимално сближаване на двете частици $v_e = v_p$, изминалото време ще бъде $t_{d\min} = \dfrac{v_0}{2a}$. [0,5 т.] За това време електронът изминава път $v_0t_{d\min} - \dfrac{at_{d\min}^2}{2}$, а позитронът изминава $\dfrac{at_{d\min}^2}{2}$. [1 т.] Търсеното разстояние $d_{\min} = d_0 - v_0t_{d\min} + \dfrac{at_{d\min}^2}{2} + \dfrac{at_{d\min}^2}{2} = d_0 - v_0t_{d\min} + at_{d\min}^2 = d_0 - \dfrac{v_0^2}{4a} = d_0 - \dfrac{m_ev_0^2}{4eE}$. [1,5 т.] Скоростта на електрона в този момент ще бъде $v_{d\min} = v_0 - at_{d\min} = \dfrac{v_0}{2}$. [0,5 т.]

б) Когато скоростта на електрона става равна на нула, изминалото време става $\dfrac{v_0}{a}$. [0,5 т.] Разстоянието между частиците ще бъде $d_{v=0} = d_0 - \dfrac{v_0^2}{a} + \dfrac{v_0^2}{2a} + \dfrac{v_0^2}{2a} = d_0$. [1 т.]

в) След като скоростта на електрона става нулева, той започва да се движи равноускорително в обратната посока. До този момент електронът изминава път $\dfrac{v_0^2}{2a}$ за време $\dfrac{v_0}{a}$ и съответно трябва измине наобратно същия път, за да се върне в изходна позиция. [0,5 т.] Може да се съобрази, че това движение наобратно се случва за същото време $\dfrac{v_0}{a}$. [0,5 т.] Скоростта на електрона в първоначалната му позиция е отново $v_0$, докато позитронът е развил вече скорост $2v_0$, т.е. скоростта му е двойно по-голяма от скоростта на електрона. [1 т.]