НОФ 2024, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Батерии и резистори

• а) $\mathcal{E} = U_1,\qquad r = \frac{\mathcal{E}}{I_1} = \frac{U_1}{I_1}$

• б) $I_2 = \frac{2\mathcal{E}}{2r} = \frac{\mathcal{E}}{r} = I_1,\qquad U_2 = 2\mathcal{E} = 2U_1$

• в) $I_R = \frac{2\mathcal{E}}{2r+R} = \frac{2U_1I_1}{2U_1+RI_1},\qquad P_R = I_R^2R = \frac{4U_1^2I_1^2R}{(2U_1+RI_1)^2}$

• г) $P'_R = \frac{4U_1^2I_1^2R}{(4U_1+RI_1)^2}$

• д) $\frac{R}{r} = \frac{RI_1}{U_1} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8$

  Приблизително 2,8 пъти (точно $2\sqrt{2}$).

а) Идеалният волтметър е с много голямо съпротивление, така че във веригата не протича ток и волтметърът измерва електродвижещото напрежение на батерията, т.е. $\mathcal{E} = U_1$. [0,5 т.] Обратно, идеалният амперметър има пренебрежимо съпротивление и от закона на Ом следва, че $r = \dfrac{\mathcal{E}}{I_1} = \dfrac{U_1}{I_1}$. [1 т.]

б) Батериите са свързани последователно, така че амперметърът ще измери ток $I_2 = \dfrac{2\mathcal{E}}{2r} = \dfrac{\mathcal{E}}{r} = I_1$. [1 т.] Новото измерено напрежение ще бъде $U_2 = 2\mathcal{E} = 2U_1$. [0,5 т.]

в) Елементите във веригата са свързани последователно и от закона на Ом следва, че $I_R = \dfrac{2\mathcal{E}}{2r+R} = \dfrac{2U_1I_1}{2U_1+RI_1}$. [1,5 т.] Отделената мощност ще бъде $P_R = I_R^2R = \dfrac{4U_1^2I_1^2R}{(2U_1+RI_1)^2}$. [1 т.]

г) Успоредно свързаните резистори са еквивалентни на резистор със съпротивление $R/2$ и през всеки от тях минава половината от тока през батериите, откъдето следва, че $P'_R = \dfrac{4U_1^2I_1^2R}{(4U_1+RI_1)^2}$. [2 т.]

д) От изразите за мощностите и отношението между тях може да се съобрази, че $(4U_1 + RI_1)^2 = 2(2U_1 + RI_1)^2$. [1 т.] Оттук $\dfrac{RI_1}{U_1} = \dfrac{R}{r} = 2\sqrt{2}$, т.е. приблизително 2,8 пъти. [1,5 т.]