Съдържание

НОФ 2024, II кръг (областен), 11. клас — Задача 2. Балистично махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Областен кръг на олимпиадата по физика 2024, тема за V състезателна група (учебно съдържание за 11. клас) · 18 февруари 2024 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Общи указания от темата: „Във всички задачи може да приемете, че земното ускорение е известно и има стойност $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .“ и „При решение на задачите, ако не разполагате с подходящ калкулатор, може да използвате таблицата на тригонометричните функции, дадена на трета страница.“

Условие

Схема: вертикална дъска, закачена на ос O в горния ѝ край; хоризонтален куршум със скорост v0 лети към средата C на дъската; пунктирано е показано отклоненото положение с ъгъл θmax. — Фиг. 2. Балистичното махало: дъска, окачена в т. O, куршум със скорост $\vec{v}_0$ , насочен към центъра C, и максимално отклонение $\theta_\mathrm{max}$ .

Балистичното махало, показано на фиг. 2, е прост уред, с чиято помощ може да се определи скоростта на куршум или друг бързодвижещ се обект. Състои се от еднородна дъска с маса $M = 10{,}0\ \mathrm{kg}$ и дължина $\ell = 0{,}500\ \mathrm{m}$ , която може да се люлее без триене около хоризонталната ос O (перпендикулярна на чертежа)*. Първоначално дъската е вертикална и неподвижна. После, куршум с маса $m = 0{,}010\ \mathrm{kg}$ е изстрелян хоризонтално с неизвеста начална скорост $v_0$ към центъра C на дъската и остава в нея. Дъската започва да се люлее, като се отклонява на максимален ъгъл $\theta_\mathrm{max} = 15^\circ$ спрямо вертикалата.

*Упътване. Инерчният момент на еднородна пръчка или дъска с маса $M$ и дължина $\ell$ спрямо ос, минаваща през единия ѝ край, е: $I = M\ell^2/3$ .

а) Кои/кой от следните закони за запазване са/е в сила по време на удара между куршума и дъската: (1) закон за запазване на механичната енергия; (2) закон за запазване на импулса; (3) закон за запазване на момента на импулса? Обосновете накратко отговора си. [1,5 т.]

б) Получете израз за ъгловата скорост $\omega$ на дъската непосредствено след удара с куршума като функция на $M, \ell, m$ и $v_0$ . [3,5 т.]

в) Получете израз и пресметнете началната $v_0$ скорост на куршума. [5 т.]

Отговори

Решение

а) Ударът е абсолютно нееластичен, защото куршумът и дъската продължават да се движат като едно цяло тяло. Следователно част от кинетичната енергия се преобразува във вътрешна енергия (топлина) и механичната енергия не се запазва. [0,5 т] Импулсът също не се запазва, защото в момента на удара в горния край на дъската действа сила на реакция от страна на оста. [0,5 т] Запазва се единствено моментът на импулса спрямо оста, защото всички външни сили или са приложени в оста, или действат по права, минаваща през оста. [0,5 т]

б) Куршумът попада на разстояние $r = \ell/2$ от оста на въртене със скорост, перпендикулярна на радиус-вектора. Следователно преди удара моментът на импулса на куршума е:

$(1)\qquad L_0 = mv_0 r = mv_0\dfrac{\ell}{2}.$ [0,5 т]

След удара дъската и куршумът образувата едно цяло тяло с инерчен момент спрямо оста на въртене:

$(2)\qquad I = \dfrac{1}{3}M\ell^2 + mr^2 = \left(\dfrac{1}{3}M + \dfrac{1}{4}m\right)\ell^2.$ [0,5 т]

Моментът на импулса на системата дъска + куршум след удара е:

$(3)\qquad L = I\omega.$ [0,5 т]

От закона за запазване на момента на импулса, $L_0 = L$ , следва:

$(4)\qquad mv_0\dfrac{\ell}{2} = \left(\dfrac{1}{3}M + \dfrac{1}{4}m\right)\ell^2\omega,$ [1,0 т]

Откъдето намираме ъгловата скорост на дъската след удара:

$(5)\qquad \omega = \dfrac{6mv_0}{(4M+3m)\ell}.$ [1,0 т]

в) След удара системата продължава да се люлее без триене в оста, т.е. пълната механична енергия ще се запазва. Кинетичната енергия на системата след удара е:

$(6)\qquad E_\text{к} = \dfrac{I\omega^2}{2} = \dfrac{3m^2v_0^2}{2(4M+3m)}.$ [1,0 т]

В момента на максимално отклонение центърът на масата на системата се издига на височина:

$(7)\qquad h = \dfrac{\ell}{2}\left(1 - \cos\theta_\mathrm{max}\right)$ [1,0 т]

и съответно потенциалната енергия на системата е:

$(8)\qquad E_\text{п} = (M+m)gh = (M+m)g\dfrac{\ell}{2}\left(1 - \cos\theta_\mathrm{max}\right).$ [1,0 т]

От закона за запазване на механичната енергия, $E_\text{к} = E_\text{п}$ , получаваме:

$(9)\qquad \dfrac{3m^2v_0^2}{2(4M+3m)} = (M+m)g\dfrac{\ell}{2}\left(1 - \cos\theta_\mathrm{max}\right)$ [1,0 т]

и намираме началната скорост:

$(10)\qquad v_0 = \dfrac{\sqrt{3(M+m)(4M+3m)g\ell\left(1-\cos\theta_\mathrm{max}\right)}}{3m} \approx 470\ \mathrm{m/s}.$ [1,0 т]

(0,5 т за верен израз и 0,5 т за числена стойност. Числената стойност се приема за вярна, ако след закръгляне към число, кратно на 10 m/s, дава 470 m/s.)

Оригинал в Архива: NOF2_2024_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2024_11solutions.pdf