НОФ 2024, II кръг (областен), 12. клас — Задача 3. Работен цикъл на парна машина

• а) $T_1 = \frac{p_1V_1}{R},\ T_2 = \frac{p_2V_1}{R},\ T_3 = \frac{p_2V_2}{R},\ T_4 = \frac{p_1V_2}{R}$
• б) $T_{max} = T_3 = \frac{p_2V_2}{R},\quad T_{min} = T_1 = \frac{p_1V_1}{R}$
• в) $A = (p_2 - p_1).(V_2 - V_1)$
• г) $\eta = \frac{(p_2-p_1).(V_2-V_1)}{\frac{C_V}{R}(p_2V_1-p_1V_1)+\frac{(C_V+R)}{R}(p_2V_2-p_2V_1)}$

а) Диаграмите изглеждат така:

$T_1 = \frac{p_1V_1}{R}, T_2 = \frac{p_2V_1}{R}, T_3 = \frac{p_2V_2}{R}, T_4 = \frac{p_1V_2}{R}$. [4 т]

б) $T_{max} = T_3 = \frac{p_2V_2}{R}$, [1 т] $T_{min} = T_1 = \frac{p_1V_1}{R}$ [1 т]

в) Извършената работа $A$ от газа за един цикъл е $A = (p_2 - p_1).(V_2 - V_1)$ [1 т]

г) Коефициентът на полезно действие е $\eta = \frac{A}{Q}$. [0.5 т] Полученото количество топлина е $Q = Q_{T_1 \to T_2} + Q_{T_2 \to T_3}$. От първия принцип на термодинамиката $Q_{T_1 \to T_2} = \Delta U_{1-3} = C_V(T_2 - T_1), Q_{T_1 \to T_2} = \frac{C_V}{R}(p_2V_1 - p_1V_1)$. [1 т] Пак от първия принцип на термодинамиката $Q_{T_2 \to T_3} = \Delta U_{2-3} + p_2(V_2 - V_1) = C_V(T_3 - T_2) + R(T_3 - T_2) = (C_V + R)(T_3 - T_2) = \frac{(C_V+R)}{R}(p_2V_2 - p_2V_1)$. [1 т] Следователно $\eta = \frac{(p_2-p_1).(V_2-V_1)}{\frac{C_V}{R}(p_2V_1-p_1V_1)+\frac{(C_V+R)}{R}(p_2V_2-p_2V_1)}$. [0.5 т]